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重要 例題
144 三角方程式の解の個数
aは定数とする。 0 に関する方程式 sin20-cos0+α = 0 について 次の問いに答
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えよ。ただし, 0≦0<2πとする。
08
(2) この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。
(1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1)
指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると
前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。 そこで,
①定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右
辺に移項したx2+x-1=αの形で扱うと、関数y=x+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直
線y=α の共有点の問題に帰着できる。
→直線y=a を平行移動して,グラフとの共有点を調べる。なお,(2) では
x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個,
1<x<1であるxに対して0は
解答
cos0=xとおくと,00
方程式は
したがって
(1-x2)-x+a=0
x2+x-1=a
5
[2] a=-2のとき、x=-
4
5
[3] on <a<1のとき
あることに注意する。
2個
LOT
f(x)=x2+x-1とすると
(1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で,関数 y=f(x) の
グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。
よって、 右の図から
-≤a≤1
4
(2) 関数 y=f(x) のグラフと直線y=a の共有点を考えて
求める解の個数は次のようになる。
5
[1] a<- 1 <a のとき共有点はないから 0 個
f(x)=(x+2/12/12-25/2
4
2
-1≤x≤1/
から 2個
[6] -
[5]
この解法の特長は, 放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
[4]-
[3]+
[2]
[6]+
[5]-
[4]+
[2] -
I
O O
グラフをかくため基本形に。
y=f(x)
y=a
XA
1<x<1/13-121<x<0の範囲に共有点はそ
れぞれ1個ずつあるから 4個
[4] α=1のとき x=-10から3個
[5] -1<a<1のとき,0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個
[6] α=1のとき, x=1から1個
重要 143
π
ya
1
O
12
1x
0
[3]
練習
0 に関する方程式 2cos2d-sino-a-1=0の解の個数を,定数aの値の範囲に
p. 226 EX90,91
© 144 よって調べよ。 ただし002とする。
225
4章
23
三角関数の応用
