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基本例題 228 媒介変数表示の曲線と面積(1)
|重要 162, p.344 基本事項 ②
曲線x=a(t+sint), y=α(1-cost) (0≦t≦2x) とx軸で囲まれた部分の
面積Sを求めよ。 ただし, a>0とする。
CHART O OLUTION
面積の計算 まず、グラフをかく
曲線とx軸の共有点のx座標(y=0 となるtの値) を求める。
tの値の変化に伴うxの変化やyの符号を調べる。
s = Sydx
(3
積分区間 a≦x≦b において常に y≧0 のとき、面積は
これを、置換積分の要領で,tに関する定積分に直して計算する。
(2)
解答
0≤t≤2n ① の範囲で y=0 となるt の値は,
1-cost = 0 から
t=0, 2π
t=0 のとき x=0, t=2πのとき x=2na
x=a(t+sint) から
y=a(1-cost) から
0≦t≦2の範囲で
よって, x,yの値の変化は右上のようになり,
dx
①の範囲においては,常に ≧0 y≧0である。
dt
......
dx =a(1+cost)
dt
dy=asint
dt
dy=0 とすると
dt
・②asint
Tacost
ゆえに、この曲線の概形は右の図のようになる。
②より, dx=a(1+cost) dt であるから, 求める面積Sは
(2ла
(2π1-cos2t
1-
t=0, π, 2π
(2π
s="ydx="a(1-cost) a(1+cost)dt
Jo
2
(2π
= a ²5 "(1-cos2t)dt = a² S sin'tdt
1
t 0
dx
dt
x
dy
dt
y
++
0
:
→
0 +
2a
R
20
Ta
x
0
t=0
...
+
0
0 1 2a! 20
2π
t=T
+
2ла
置換積分により,t の積
分に直す xt の対応
は次のようになる。
02na
12π
= "¹-c06²dt=[t-sin 21"="
a ²
2t
t² = πa² utom
00
2
2
t 0-2A
10
inf0≦t≦2では y≧0であるから, 曲線はx軸の上側にある。よって、グラフを
かかずに,積分区間と上下関係から面積を計算してもよい。ただしtの変化に伴い、
xが常に増加していることを確認すること。
重要例題 232 のように, xの変化が単調でないこ
LT
こうでは
ないつ
-2π
πa 2ла X
要である。
