なぜ赤色のマーカーで塗ったような式になるのですか？

NA (2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a,0), B(0, b) を結ぶ線分 AB (両端を除く)の上の格子点 (x座標、y座標がともに整数である 点)の個数は,α,6の最大公約数をcとすると, (c-1) 個であること を示せ. 考え方 (1) まず, ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える. (2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数 cを考える. 沖縄 解答 (1) y=√3x(有理点(0, 0)のみ通る) (証明) (0, 0) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を るとすると, yo=√3xo このとき,√3=Mとなり,√3が有理 数となるので矛盾する. Xoy よって,(0, 0) 以外の有理点を通らない. xC (2) 線分ABの方程式は, -+%=1 (x>0, y>0) a α, 6 の最大公約数はcであるから, a=ca' |b=cb' とおける.これをAB の方程式に代入して, 一十 =1….... ① より, TOTU b'x y ca' cb' -+y=cb' Buď Fron b'x 右辺は整数,yは整数より, a' B'は互いに素より, xはα'の倍数, すなわち, x=ka' (kは自然数) とおける.同様に, y=lb' (lは自然数)とおける. これらを①に代入すると, (α′,6′は互いに素な自然数)= 背理法で示す. Xo, yo が有理数より, yは有理数 Xo 線分なので, x,yの範 囲に注意する. YA 0 B (0,6) A(a,0) k+l=c.......②おるよな自分 も整数で,α と 分数のところに着目す る. ⑤ その他=1より, C C ②を満たす自然数の組 (k, l) は, (1, c-1), (2, c-2), (c-1, 1) よって,題意を満たす格子点の個数は,(c-1) 個 である. 注) (2)の結果より, a, bが互いに妻のとき,線分 AB 上には格子点が存在しない。 XC

なぜcが整数ではなく自然数なのか教えていただきたいです🙇‍♀️

シカ S+ AHE ら、 ち、 矛盾 |解答 こにな 基本例題 62 √7 が無理数であることの証明 DO は無理数であることを証明せよ。 ただし,nを自然数とするとき,n2が7の 倍数ならば,n は 7の倍数であることを用いてよいものとする。 られ 指針無理数であることを直接証明することは難しい。そこで,前ページの例題と同様 ① 直接がだめなら間接で背理法 検討 に従い「無理数である」= 「有理数でない」 を背理法で証明する。 つまり、√7が有理数 (すなわち 既約分数で表される) と仮定して矛盾を導く。 [補足] 2つの自然数a,bが1以外に公約数をもたないとき, αと6は互いに素であ a るといい, このとき, は既約分数である。 b √7 が無理数でない,すなわち有理数であると仮定すると, 1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bを用い て,7=1 と表される。 このとき a = √7b 両辺を2乗すると a²=76² DONBANC よって, d²は7の倍数であるから αも7の倍数である。 ゆえに, αはある自然数c を用いて α = 7c と表される。 これを①に代入すると [類 九州大] 基本61 ...... 10=84 wanaud (c)²=762 すなわち 62=7c2 よって,627の倍数であるから, も7の倍数である。 ゆえに, aとbは公約数7をもつ。 これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛 盾する。 したがって√7は無理数である。 例題の「ただし書き」を 用いている。 TU これも, 「ただし書き」に る｡ 上の解答で示した背理法による証明法は,√2/3,5などが無理数であることの証明 にも用いられる証明法である。この場合 \d+o 「nがん (k=2,3,5) の倍数であればnもkの倍数である｣ (*) ことを利用する。なお、上の例題のように,「(*)を用いてよい」などと書かれていなけれ ば,(*)も証明しておいた方が無難である。 参考 「自然数nに対し, n²が7の倍数ならば, nは7の倍数である」ことの証明は, 1 と同様にしてできる。 ......

数1の照明で対偶か背理法で証明するかどうかの見分け方ってありますか？

命題は真であることが前提なのですか？

左辺は偶数だから, このとき,n2は4の倍数だから、2m²も4の倍数. よって, m² は偶数となり,mも偶数. ゆえに、mとnは共通の約数2をもつことになり、 mとnが互いに素であることに矛盾する. よって,√2は有理数ではない. すなわち,√2は無理数 23 ポイント 背理法では結論を否定して解答をかき始め その結果, 矛盾することを示す hは偶数なので n=2kと表せる。 '=(26) ² n'= 462 10 ① 22X (1) 命題:0<x<1 ならば x2 <1 について 逆,裏,対偶を述べ,その真偽を調べよ. (2) 命題: xy=2 ならば x≠1 またはy=2 が正しいことを対偶 を用いて証明せよ. (3)√2が無理数であることを用いて,√2+1も無理数であるこ とを背理法で証明せよ ( o

(2)の解答の変形がなんで写真のようになるのか教えてほしいです🙇‍♀️

100 基礎例題 56000 背理法を利用した証明 (3) 基礎 例題 58 [類 三重大 (1)a,bは有理数とする。a+b√3=0のとき, 3 が無理数であること を用いて, b=0 を証明せよ。 +3√/3)x+(1-5√3)y=13 を満たす有理数x,yの値を求めよ。 (2)+(2+3√3 CHART & GUIDE ■解答 (1) 60 と仮定する。 a+b√3=0 から (1) 直接証明するのは難しいから,背理法を用いる。 6 = 0 であると仮定して, 矛盾 を導くことで, b= 0 を示す。 (2) (1) の結果を利用する。まず, 式を+√3=0 の形に変形する。 証明の問題 直接も対偶利用もだめなら 背理法 ③を②に代入すると ③ ④ を解いて 9 有理数と無理数の ① a,b は有理数であるから、 ①の右辺は有理数である。 ところが ① の左辺は無理数であるから, これは矛盾である。 したがって b=0 (2)等式を変形すると (2x+y-13)+(3x-5y)√3=0... ② x,yが有理数のとき, 2x+y-13,3x-5y も有理数であり、 √3 は無理数であるから, (1) により _3x-5y = 0 3 2x+y-13=0: a √√3 = - 12/10 b ...... x=5, y=3 ...... 4 ←b=0 のとき b√3=-α の両辺を で割ることができる。 s +√3=0 の形 に。 の断りは重要。

数Iの命題と条件の問題です。 明日の朝までの課題を 今見つけてしまって 大変焦っております…！ よければ解き方を教えてください！

5 次の問いに答えよ。 (1)a,b は有理数とする。 √2 が無理数であることを用いて, 命題 「a+b√2=0 a=b=0」 を証明せよ。 (2) (a-2)+(b+3)√2=0 を満たす有理数 α, bの値を求めよ。

数1について質問です。 例題の(2)ではなぜ=3、=5になるのですか？？ また類題263の(2)もなぜ=0になるのですか？？ テスト範囲なので教えてください。 回答お願いします🙇‍♀️⤵️

例題 30 背理法の利用 次の問いに答えよ。ただし,√2が無理数であることを用いてもよい｡ □(1) a,b,c,dが有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=cかつ V b=d であることを証明せよ。 (2) (3+2√2)x+(5-√2)y=3+5√2 考え方 (1) a-c+(b-d)√2=0 と変形してから,背理法を用いて示す。 (2) 左辺を2について整理してから, (1) の結果を利用する。 (1) 与式を整理すると, a-c+(b-d)√2=0.......① ここで, b-d=0, すなわち, b=d と仮定すると, ① より, B15 「発展」 を満たす有理数x,yの値を求めよ。 解 √2= a,b,c,d は有理数より も有理数となり,√2が無理数であること に矛盾する。 したがって, b=d で, ① より, a-c = 0, すなわち, a=c よって, a, b, c, d が有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=c か b=d である。 cia b-d (2) 与式を整理すると, -3x+5y+(2x-y)√2=3+5√2 xyは有理数であるから, -3x+5y, 2x-yも有理数であり, (1) より, -3x+5y=3 よって, x=4, y=3 |2x-y=5 263 次の問いに答えよ。ただし,√6 が無理数であることを用いてもよい。 □(1)a,bを有理数とするとき,a+b,6=0 ならば, 4=0 かつ b = 0 である ことを証明せよ。 (2) (16)+(√6-1)g=3+6√6を満たす有理数か, g の値を求めよ。 C 例題 30

108の(2)の証明の仕方が理解できません。 丁寧に教えていただけたら幸いです

108 次の問いに答えよ。 O (1) nは整数とする。 対偶を利用して,次 の命題を証明せよ。 n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 (2) (1) を利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。

この問題の(2)の赤線の部分の3,5はどこからわかったのでしょうか,,,??

例題 30 背理法の利用 次の問いに答えよ。 ただし、√2が無理数であることを用いてもよい。 □(1)a,b,c,dが有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=c かつ b=d であることを証明せよ。 □(2) (-3+2√2)x+(5-√2)y=3+5√2 第55 考え方 (1) a-c+(b-d)√2=0 と変形してから,背理法を用いて示す。 (2) 左辺を√2について整理してから, (1)の結果を利用する。p(i) いつ まであ (1) 与式を整理すると、 一 Ho を満たす有理数x,yの値を求めよ。 解 a-c+(b-d)√2=0 ......① …① ここで, b-d = 0, すなわち, b=d と仮定すると,①より, (1) [+9£=d ja, a,b,c,d は有理数より6gも有理数となり,√2が無理数であること に矛盾する。 したがって, b=d で, ①より, a-c=0, すなわち、 a=c 原園よって, d, b c d が有理数のとき、a+b√2=c+d√2 ならば、a=c か つ b =d である。 A8+*+ AS±³AE √2= a,b c-a b-d =- (2) 与式を整理すると, -3x+5y+(2x-y) √2=3+5√2 xyは有理数であるから, -3x+5y, 2x-yも有理数であり, (1)より、 (i) -3x+5y=3 2x-y=5 よって、 x=4, y=3

対偶、背理法を使って証明するものの区別の仕方が分かりません。ルートが出てきたら直接証明するのは難しいから背理法と判断してもいいのでしょうか？