二次関数、最大値最小値の場合分けがわからないです。座標だけはわかるのですが、どんなときに最大値で最小値かわかりません。

88 文字係数の2次関数の最大・最小 基本例題 56 aは定数とする。 関数 y=x2-2ax+α (0≦x≦2) の最大値、最小値を、 の各場合について, それぞれ求めよ。 (1) a≦0 (2) 0<a<1 (3) a=1 CHART OLUTION 解答 係数に文字を含む2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け まず,基本形にすると y=(x-a)²-a²+a このグラフの軸は直線 x=α で, 文字αを含んでいるから,αの値によって, 軸(グラフ)の位置が変わる。そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき 軸がどの位置にあるか確認する。 その際, 頂点と端点に注目する。 200 y=x2-2ax+a=(x-a)²-a²+a この関数のグラフは下に凸の放物線で、頂点は点 (a,d²+a), 軸は直線x=α である。 また (1) a≦0 のとき x=0のときy=a, x=2のときy=4-3a (1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは、図のようになるから x=2で最大値4-3α x=0で最小値 α (2) 0<a<1のとき x=2で最大値 4-3a x=αで最小値-α²+α (3) α=1のとき x=0, 2 で最大値1 x=1 で最小値0 (4) 1<a<2のとき x=0 で最大値 α x=αで最小値-a²+α (5) α≧2 のとき x=0 で最大値 α x=2で最小値4-3α (1) 1p.84 基本事項 ②. 基本 54 (2) ¦ ye 4-3a a -a² + a O 4-3a a (4) 1<a<2 |y₁ a0 -Ta 1 2 2x (5) a≥2 7 x 基本形に直す。 定義域の中央はx=1 軸の位置は、それぞれ (1) 定義域の左外 (2) 定義域内の左寄り (3) 定義域内の中央 (4) 定義域内の右寄り (5) 定義域の右外

3の問題で12xに√6をわると2/6になるのは どういことですか？

2次方程式の解法(解の公式) 基本例題 70 解の公式を利用して,次の2次方程式を解け。 (1) 2x²-5x+1=0 (3) 2√6x2+12x+3√6 = 0 CHART x= OLUTION よって (解答) (1) x=−(−5)±√(−5)²—4•2•1 5+√/17 2-2 (2) 整理すると, 18x2+9x-2=0 であるから -9+√9²-4.18 (-2) -9+√225 2・18 36 よって (3) 両辺を6で割ると 2次方程式の解法 因数分解 ② 解の公式 (2),(3) 因数分解できるが, 少し試して因数分解できないなら, 解の公式を利 用すると確実。 b=26' 型の公式 (p.104 基本事 (3), (4) の係数が2の倍数の形のとき 項1③ [2]) を利用。 (3) x2の係数は有理数の方が扱いやすい 両辺を6で割る。 (4)x+2=Aとして,Aの2次方程式を解く。 xの値はx=A-2 から求め る。 x= x= 6 36' すなわち 2x2+2√6x+3=0 -√√ 6 ± √√(√√ 6 ) ² −2+3 _ _ −√ 6 ±0 よって = 2 2 (4) x+2=Aとおくと, A'+22A-1=0 であるから -=-2± √5 24 36 A=2±√2°-1(-1) 1 x=A-2=-4±√5 - = (2)9x(2x+1)=2 (4) (x+2)2+4(x+2)-1=0 PRACTICE･･･ 70② 次の2次方程式を解け。 *1) 2x²+3x-7=0 (2) 2.2 -9±15 36 [p.104 基本事項 1 x=²1/1/₁ 6' == 2 3 MOTEUT √6 2 x=- -b± √b²-4ac 2a 因数分解すると 6 3 18 -1→-3 2-12 -2 (6x-1)(3x+2)=0 b=26′型でb'=√6 因数分解すると (√2x+√3)²=0 ★6=26′型で 6'2 x+2=Aから。

どうしてx=0のときaなんですか？ -2の-で-aになってしまいます。

88 文字係数の2次関数の最大・最小 (1) p.84 基本事項 ② 基本 54 基 本 例題 56 か aは定数とする。関数y=x-2ax+α (0≦x≦2) の最大値,最小値を の各場合について, それぞれ求めよ。 (1) a≦0 (2) 0<a<1 (3) a=1 CHART OLUTION 解答 係数に文字を含む2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け まず,基本形にすると y=(x-a)²-a²+a このグラフの軸は直線x=α で, 文字 α を含んでいるから,αの値によって、 軸(グラフ)の位置が変わる。 そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき, 軸がどの位置にあるか確認する。その際,頂点と端点に注目する。x+ (1) α≦0 のとき y=x2-2ax+a=(x-a)^-a²+a この関数のグラフは下に凸の放物線で, 頂点は点 (α, -d'+α), 軸は直線x=α である。 また x=0 のときy=a, x=2のときy=4-3a (1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは,図のようになるから (1) ¦ x=2で最大値4-3a x=0 で最小値 α (2) 0<a<1のとき x=2で最大値4-3a x=α で最小値-α²+α (3) α=1のとき x=0, 2 で最大値1 x=1 で最小値0 (4) 1<a<2のとき x=0 で最大値 α x=α で最小値-α'+α (4) 1<a<2 OPGE BE -a²+a (2) YA 4-3a |y₁ 4-3a a0 ta (5) a≧2 2 x 基本形に直す。 定義域の中央はx= 軸の位置は, それぞれ (1) 定義域の左外 (2) 定義域内の左寄 (3) 定義域内の中央 (4) 定義域内の右寄 (5) 定義域の右外

x=2.0とあるのにaxのxに代入せずaxは無視していいんですか？

80g 1次関数の決定 (2) 重要 例題 50 関数 y=ax-a+3 (0≦x≦2) の値域が 1≦y≦b であるとき,定数a, ba た場合の感 される 値を求めよ。 CHART & OLUTION MOITU グラフ利用端点に注目 1次関数y=ax+b というと,a=0 であるが,単に 関数というときは, α = 0 の場合も考える。 a=0, a<0 の場 この例題では、1次の項の係数がαであるから a>0, 合に分ける。 得られたαの値が 場合分けの条件を満たしているかどうか検討するのを忘れ ずに｡ 解答 x=0 のときy=-a+3, [1] a>0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値も増加するから,x=2 で最大値 6, x=0 で最小値1をとる。 よって a+3=b, -a+3= 1 これを解いて a=2, b=5 これは, a>0 を満たす。 [2] α=0 のとき この関数は y=3 このとき,値域はy=3であり,1≦y≦b にはなりえない。 [3] α<0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値は減少するから, x=0 で最大値 6, x=2で最小値1をとる。 よって -a+3=b, a+3=1 これを解いて これは,α<0 を満たす。 x=2のとき y=a+3 a=-2,6=5 基本43 (a, b)=(2, 5), (−2, 5) -25 [1] YA ba+3 1 [3].y 0 ◆定数関数 1 [1]~[3] から PRACTICE････ 50 ③ J(1) 定義域が −2≦x≦2, 値域が −2≦y≦4 である1次関数をル (2) 関数y=ax+6 (6≦x≦6+1) の値域が lit +. a+3 ba+3 a+3 0 関 E 2 X

(2)ですがxはどうして6になるんですか？

66 有理数と無理数の関係 基本例題 40 (1)a,bが有理数, √T が無理数のとき, a+bvl=0 ならば α = b=0 で あることを証明せよ。 (2)(1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数x,yの値を求めよ。 [松山大 ] CHART OLUTION (解答) (1) b=0 と仮定すると (1) 直接がだめなら間接で 背理法 6=0 と仮定して矛盾を導く。 (2)√2について整理して, (1) の結果を利用する。 このとき, 前提条件 「x,yは有理数,√2は無理数」を書くことを忘れないよう注意。 a,b は有理数であるから,右辺のCは有理数である。 左辺の√は無理数であるから,これは矛盾している。 よって b=0 (2) 与式を変形して このとき, a+0.7 = 0 から a=0 ゆえに, α, bが有理数, Tが無理数のとき a+b=0 ならばa=b=0 √T=-11/10 b LOINT (x-2y-10)+(x+3y)√2=0 x,yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数であ り √2は無理数である。 ゆえに x-2y-10=0, x+3y=0 よって x=6, y=-2 PRACTICE･・・･ 40 ③ a AUG IF * To to z 7+a√3 00000 * 「す 基本38 -=b+9/3を満たす ◆a=b=0 の否定は 「 α = 0 または 6=0」 で, これを仮定してもよい が, α = 0 は b=0が証 明できればすぐに示す ことができる。そのた め、初めに6=0 のみを 仮定した。 ◆√2について整理。 この断りは重要。 有理数と無理数 a,b,c,dが有理数, I が無理数のとき ならば a=b=0 1 a+b√T=0 ② a+b1=c+dI ならばa=c, b=d (第2式) (第1式)から 5y+10=0 重 www Us !

(2).(3)が分からないです。 -と+にわかれるのは分かるのですがそこから何もわかりません。教えて下さい。

q ことによ 以上もら 最も を導 q に、 基本例題 35 p.59 次の命題の真偽を調べよ。 ただし, (2), (3) は集合を用いて調べよ。 (1) 実数α, bについて、 ロースカー (2) 実数xについて、 |x|<3 ならばx<3 (3) 実数xについて、 x<1 ならば |x|<1 5867 İ<* #1 [<v« (8) CHART OLUTION 命題の真偽 ① 真をいうなら証明 偽をいうなら反例 ② 含まれるなら真 はみ出すなら偽 実数の集合を扱うなら, 数直線を利用して調べるとよい。 (2)(3)条件 ならば、a=b を満たすもの全体の集合を,それぞれP, Qとする。 g 「ｶ⇒ gが真」 ⇔ PCQ 「pg が偽」 P&Q 解答 (1) α=-1, b=1のとき d2 = 62 であるが,a=b でない。 よって, 命題は偽 別解 d' = 62 から :) 左辺を因数分解して ゆえに よって, 命題は偽 P&Q よって、命題は偽 (2) P={x||x|<3},Q={x|x<3} とする。 P={xl-3<x<3} であるから a²-62=0 (a+b)(a−b)=0 α = - b または α = b PCQ よって, 命題は真 (3) P={x|x<1}, Q={x||x|<1} とする。 Q={x|-1<x<1} であるから -3 AD-08-8 A0-08 ・P -1 Pest) # -Q- 3 OS=1 x ◆ 反例 AB ◆絶対値を含む不等式 (p. 44) DD 左の別解は、命題が偽で あることを式変形によ って示している (普通は 反例によって示す方が らくである)。 1章 6 て」 となければ 28 偽: 反例 x=-2 053-8A 論理と集合 0 のとき <c⇔-c<x<c 2014 ◆問題文に「集合を用い などと答えてもよい。

関係式の作り方が分かりません。どうやって作りますか？兄の持っている本数を求めるからxとするのは分かるのですが

/^\ PRACTICE･･･ 30② (1) 兄弟が合わせて52本の鉛筆を持っている。 いま、 兄が弟に自分が持っている 筆のちょうど 1/12 をあげてもまだ兄の方が多く、更に3本あげると弟の方が多く る。 兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求め上

Aの箱から一個減らしてBの箱に一個増やした時について24/269にならず24／257になってしまいます。どんな計算してますか？

261 て求めよ。 つ整数が6であ この整数が が変わる。 し 注意すべき名詞 S 連立不等式の応用 (1次) 基本例題 30 基本 27.29 Aの箱の重さは95g, Bの箱の重さは100gである。 1個12gの球が20個 00000 あり,これらをAとBに分けて入れたところ, Aの箱の方が重かった。 そこ でAの箱からBの箱に球を1個移したところ,今度はBの箱の方が重くなっ た。 最初, Aの箱には何個の球を入れたか。 CHART OLUTION 文章題の解法 解答 最初, Aの箱にx個の球を入れたとすると A,Bの重さを比較して 95 +12x > 100+12(20-x) 変数を適当に選び、 関係式を作って解く ②解が問題の条件に適するかどうかを検討 最初, Aの箱の球をx個としたときのAとBの重さを比較した関係式を作る。 次に,Aの箱の球を1個減らし、Bの箱の球を1個増やしたときの重さを比較 した関係式を作る。こうしてできる2つの不等式を連立させて解けばよい。 なお, xは整数であることに注意する。 整理して 24x>245 (1) ECHO SO Aの箱から1個減らし、Bの箱に1個増やしたとき A,Bの重さを比較して 整理して 24x<269 よってx> 95+12(x-1)<100+12(21-x) よって x<- ①と②の共通範囲を求めて 245 104 24 245 24 では数えられるように思える名詞 -269 24 269 24 <x<- (2) xは整数であるから x=11 したがって, 最初Aの箱に入れた球は11個である。 ◆Bは (20-x) 個 ◆Aの方が重い。 ◆Aは (x-1) 個 Bは (20-x+1) 個 ◆Bの方が重い。 49 245 24 ◆解の検討。 ≒10.2, 269 24 PRACTICE..‥. 30 ② HAY (1) 兄弟が合わせて52本の鉛筆を持っている。 いま、 兄が弟に自分が持ってい 筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く、 更に3本あげると弟の方が る。 兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。 (2) 600AKE

(2)がわからないです。x<2a+5はとけましたがそのあとが分かりません。6<2a+5<=7ってどういうことですか？

48 1次不等式の整数解 |基本 26 OC 基本例題 29 (1) 不等式 6x+8(4-x) > 5 を満たす2桁の自然数xをすべて求めよ。 (2) 不等式 5(x-1)<2(2x+α) を満たすxのうちで、最大の整数が6であ るとき,定数aの値の範囲を求めよ。 CHART OLUTION 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは、与えられた不等式を解く。 (1) 不等式の解で, 2桁の自然数であるものを求める。 (2) 不等式の解が,x<A の形となる。 ここで, x<Aを満たす最大の整数が 6であるということは, x=6 は x<A に含まれ るが, x=7 は x<A に含まれないということ。 これを図に示すと右のようになる。 解答 (1) 6x+8(4-x) >5 5 ≤7-2x>-27 27 ゆえに xは2桁の自然数であるから 10≦x≦13 x=10, 11, 12,13 よって x<- =13.5 のときである。 ゆえに よって 1/12kas よって2桁 1<2a≦2 14 10 11 12 1313.5 x 850 (2) 5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5.. ① ① を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6<2a+5≤7 a+nE-< 6 A 7 x 6 2a+5 7 x ①を満たす最大の整数 200 連立不等式の 基本例 Aの箱の あり、こ でAの箱 た。最初 CHART OLUT 展開して整理。 不等号の向きが変わる。 - Sat ◆解の検討。 $300 SD AT 0-9 [S] ◆展開して整理。 ! 解答 最初, 6<2a+5<7 とか 6≦2a+5≦7 などとし ないように注意する。 A, 整理 Aの箱 A, 整 ①と xは した a=1のとき、不等式 7で、条件を満たす a=1のとき, 不等式 P

なぜ（b+c)二乗は展開しないんですか？

! (1) (21 CHART & OLUTION 解答 対称式・交代式の因数分解 1つの文字について整理する どの文字についても次数は同じ。 どれか1つの文字に着目し a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)²-4abc = (b+c)²a+b(c²+2ca+a²)+c(a²+2ab+b²)-4abc = (b+c)a²+{(b+c)²+2bc+2bc-4bc}a+bc² + b²c = (b+c)a²+(b+c)²a+bc(b+c) = (b+c){a²+(b+c)a+bc} = (b+c)(a+b)(a + c) =(a+b)(b+c)(c+a) 1 2 (1+vS)(8-v)- ((F+vS)+x (1+48++