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38-
-4 プロセス数学Ⅰ
y=-x2+2ax-4a+1 を変形するとal
y=(x-a)2+α2-4a+1 (−1≦x≦2)
関数y=-x2+2ax-4a+1のグラフは上に凸の
放物線で, 軸は直線x=α, 頂点は点
x=a+1のとき y=a22a
(1) [1] a+1<2
[1]
3 5
すなわち
すなわちx=
で最大値をとる。
2' 2
<1のとき
1
(a, a2-4a+1) である。
また x=1のとき
y=-6a,
グラフは [図] の実線
部分のようになる。
よって,
[3] 2<a+
[3]11
a+1
すなわち
a-
a+1
Qa
x=2のとき
[1] a<−1 のとき
-1≦x≦2でのグラ
フは [図] の実線部分
y=-3
x=α+1で最小値
[1]
y1
a22a をとる。
[2] a≦2≦a+1
[2]y
a 2
[グラフは [図] の実線
0
x
部分のようになる。
よって,
-11
すなわち
のようになる。
1≦a≦2 のとき
よって,
x=α+1で最大値α2-2a をとる。
[1]~[3] から
a O
x=-1で
157
最大値-6αをとる。
グラフは [図] の実線
部分のようになる。
よって
a+1
a 2
3
a.
のとき
x=αで最大値 α-4a + 3
[2] -1≦a≦2のとき
-1≦x≦2でのグラフは [図] の実線部分のよ
うになる。
0
3
5
x=2で最小値 -1
をとる。
-1
12/2kaのとき
よって, x=αで最大値 α-4a+1をとる。
[3] 2<αのとき
[3] y
[3] 2 <αのとき
-1≦x≦2でのグラフは [図] の実線部分のよ
うになる。
よって, x=2で最大値-3をとる。
グラフは [図] の実線
部分のようになる。
よって,
(3)
m
a=2のとき
x=a+1で最大値α2-2a
(3) (1) から, 関数のグラフは [図] のようになる。
(4) (2) から, 関数のグラフは [図] のようになる。
(4)
x=2 2
で最大値 -2
3
x =αで最小値
3)
α24a+3 をとる。
0
a+1x
[2]
y1
Oa 2
-1-
x
[3]
y
-1 2 a
[1]~[3] から
-1-
3
10
a<1のとき
1≦a≦2 のとき
x=α+1で最小値α2-2a
x=2で最小値10
12/3
2
O
0
a
-1
2<a のとき
x =αで最小値α2-4a +3
1
(2) 定義域の中央の値は +
2
164
[1]~[3] から
a<-1のとき
[1] a + 1/2 <2
[1] 31
すなわち
x=-1で最大値-6a
-1≦a≦2 のとき
x=αで最大値α2-4a+1
ak2のとき
a+
1
a+1
2<aのとき
x=2で最大値 -3
[参考] 最小値を求める場合は,グラフが上に凸の
とき,軸から最も遠いxの値を考える。
グラフは [図] の実線
部分のようになる。
よって,
a2
売価を x円値上げすると, 1日の売り上げ
個数は (300-2x) 個になる。
x≧0 かつ 300-2x≧0 であるから
0x150
1日の売り上げ金額をy円とすると
171 1 y=(100+x)300-2x)
右辺を変形すると
-1
すなわち, 軸 x=αの位置について以下のように
場合分けをする。
[1] 定義域の中央より左
x = αで最大値 α2-4a+3
をとる。
[2] 定義域の中央
[3] 定義域の中央より右
[2]1+1/2=2
[2]y
すなわち
(100+x)(300-2x)
=-2x2+100x +30000
=-2(x-25)2+31250
よって, yはx=25で
最大値31250 をとる。
したがって, 売価は
125円にすればよい。
31250
30000
163 y=x2-4x+3を変形すると
y=(x-2)2-1 (a≦x≦a+1)
=2のとき
O
3a+1,
a 2
関数 y=x2-4x+3のグラフは下に凸の放物線で,
グラフは [図] の実線
部分のようになる。
3
025
150
4
軸は直線x=2, 頂点は点(2,-1) である。
また x=αのとき y=a2-4a+3,
+よって, x=a, a+1
