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のとき
って
基本例題 29 不等式の証明 [A-B2≧0の利用]
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのような
ときか。 [p/doll
(1) a≧0,b≧0のとき 5√a+3√6≧√254+96
(2) a≧0,b≧0のとき √a+√6≦√2(a+b)
|指針
解答
(1) の差の式は5√a +3√6-√25a+96 であり,これから ≧0は示しにくい｡
そこで, 証明すべき不等式において, (左辺) ≧0, (右辺) ≧0であることに着目し
A≧0, B≧0のとき A≧BA'≧B2
の利用を考える。
すなわち、まず左辺) (右辺) を証明するために,平方の差 (左辺) (右辺)2≧0
を示す。
CHART 大小比較 差を作る 平方の差も利用
250 x96
(1) (5√a +3√6)(√25a+96)²
=(25a+30√a √6 +96)-(25a+9b)
=30√√√O
=30√ab≧0
①
よって
(5√a +3√6)² ≥(√25a+9b)²
5√a +3√6≧0,√25α+96 ≧0であるから
(2) {√2(a+b)}'-(√a+√6) 2
=2(a+b)-(a+2√ab+b)
p.51 基本事項 3
平方の差。
18445 0≤18+b]
2A≧0, B≧0のとき
Kids A≥B⇒A²≥B²
⇔A'-B'≧0
Aya +3√6≧√25a +96
等号が成り立つのは, ① から α = 0 または 6=0 のと√ab = 0
|6+|2|0
きである。
5 @ 0+3+16+0=0/264
=a-2√ab+bosching (10
① (1dp/+dns=
=(√a-√5)² ≥0
よって
{√2(a+b)}² ≥(√a+√6) ²
√2(a+b)≧0,√a+√6≧0であるから
√2(a+b)≧√a+√6
等号が成り立つのは、① から a=bのときである。
この確認を忘れずに。
(1) a≧0,b≧0のとき 7√a+2√6≧√49a+46
(a)
(a-h²√a-√6
平方の差。
(実数) 20
この確認を忘れずに。
√a = √6
2013/11 (250 25+C50)
練習
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなとき
PS
②29か。
(0) DE
1
1章
章
⑥ 不等式の証明
