例 183
対数の大小 (2)
0<a<1のとき, 10gzaと10ga2の大小を比較せよ ・
例題174 (p.325) では,底をそろえて真数を比較し,対数の大小を調べたが,ここでは,
となり,10gza
同じようにすることができない (10ga2を底が2の対数とすると、 log₂a
と比較しにくい) このようなときは,
logza-loga2のように一方から他方を引いた差の
符号を調べればよい。 底をそろえるのを忘れずに .
[考え方
解答
log2a =t とおくと,
0<a<1より, 10g24 <10g21=0 だから、 t<0...... ① 底2(>1)より、
log2a-loga 2=log2a-
| 不等号の向きは真数
これはマイナス
確定
の大小と一致
(i)
最けるしい
=t--
1
log₂ a
loga
11 (1+1)(1-1)(1+1) ②
t
t
①より, t<0であるから、 t-1 < 0 より,
t+1<0より, t <-1 のとき
つまり, 10g2a> -1 より, a>
② より log2a-loga 2>0
よって,0<a<Iより,
0<a</1/2のとき、
つまり, 10gza < -1 より a</1/2のとき玉コ
a=1/2のとき.
12/ <a <1のとき,
A-B>0 ⇔A>B
②より, logza-10g 20 つまり, 10gza <loga2 >
(ii) t+1=0 より, -1 のとき
つまり,10ga-1より,a=1/2のとき
② より
(i) t+1>0 より tラー のとき
widt
->0
t-1.
t
log₂ a<loga 2
log2a-loga 2=0/2, log2a=loga 2
10g2a=loga2
さかい
log2a >loga 2
かか
***
のとき
, log₂a>loga 2
logo a
底はαより2にそろ
えた方が扱いやすい。
+=1>0 £4,
②の符号は,t+1
MOMOTIV.
符号を調べればよ
-1=log22-1
|=log2
0<a<1 より (i),
(Ⅱ)のαの値の範囲に
注意する.
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