例題33 位置ベクトルが示す点の座標
△ABCと点Pに対して, 5PA+3PB+4PC が成り立つとき,点Pはど
のような位置にあるか。 また,そのときの△PBC, PCA, PAB の面積
の比を求めよ。
考え方
位置ベクトルの基準を点Aとして, APをAB, AC で表す。
AB=1, AC =c, AP= とする。
5PA+3PB+4PC=0 より,
5(一)+3(-) +4(C-D) = d
p=36+4C_7
12
36+46
7
辺BC を 4:3に内分する点をDとすると,
AP=AD
12
△PBC=
12
よって, 点Pは,線分 AD を 7:5 に内分する位置
にある。
また, △ABCの面積をSとすると,
5
APBC=167AABC-12S
APCA-1/27AADC=1/2×48=121/2s
△PCA=
-X-
△PAB=1/72 ABD-1/2×15-1/12s
したがって
APBC : △PCA: △PAB=
S
B
3=1/25:
A
⑤
D 3
P12S: 1/12S:1/12S=5:3:4
C