この問題の場合分けで（1）で3を含んでやってますが、（2）で3を含んでやってはいけないのでしょうか。 3を含んでても含んでなくても変わらない気がするのですが、

No. 300 基本 例題 191 文字係数の関数の最大・最小 145000000 a>0 とする。 関数 f(x)=x-3ax2+5a の 0≦x≦3 における最小値を求めよ。ただし、 [ 類 関西大 ] ●基本 186,190 f( 最 CHART & THINKING $30 025 [s] 最大・最小 グラフ利用 極値と端の値に注目 CH 最小値の候補となる極小値をとるxの値(x=24) がαの値によって変わるから場合分けを する。 場合分けの境目はどのように考えればよいだろうか? →極値をとるxの値(x=2α) 区間 0≦x≦3 に含まれるかどうかが境目となる。 解答 f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a) (5) 最 aの 場合 y= age f'(x) =0 とすると x=0,2a a>0 であるから 2a>0 f(x) の増減表は次のようになる。 x f'(x) + 20 0 2a 0 + f(x)> 極大 極小 5a³ q3 → [1] 0<2a≦3 すなわち 0<a≦- 3 のとき (za) =(2a)-3a(2a)2+5a3 =8a3-12a3+5a³ =q3 [1] 極小値をとるxの値 f' f' 増 [1] が区間に含まれる場合 [1] 0 [2] y=f(x) のグラフは右図 [1] のようになる。 よって, 0≦x≦3 において, f(x) は x=2a 最小値 f (2a) =α をとる。 [2] 3 <2α すなわち 3 <α のとき ⇒グラフをおおよそ でいいから で書いてあげるの が大事 5a3 a 最小 整 2 y=f(x) のグラフは右図 [2] のようになる。 よって, 0≦x≦3 において, f(x) は x=3で 2a 3 x よ [2] 極小値をとるxの値 [3] 最小値 f (3) =5α-27a +27 をとる。 [1], [2] から が区間に含まれない場合 [2] y [4] [1] 3 介 5a3-27a+27 0<a≦22 のとき x=2αで最小値 α', 1503 3-2 をとる。 <a のとき x=3 で最小値 5α-27a +27 最小 3 2a a in PRACTICE 1913 3 oer 49 xの関数f(x)=-x+ax²-a0≦x≦1 における最大値をg (a) とおく。(c) をαを用いて表せ。 PH

この問題はなぜ高さを2tとするとうまく行くのでしょうか。他の半径とかじゃダメなんですか？

0000 値を求めよ。 283 基本事項 3 295 調べて、最 文章題の解法 CHART & SOLUTION い点に注意。 で書く。 基本 例題 187 最大・最小の文章題(微分利用) 80000の 半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また, そのときの直 円柱の高さを求めよ。 基本186 MONTUJO ATMAH 三 半径は62-1 面積はπ(√62-122(36-12) 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ目 直円柱の高さを、 例えば 2t とすると計算がスムーズになる。 変数 tのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 このとき, 直円柱の底面の したがって, 直円柱の体積はtの3次関数となる。 変数のおき exfa 2 ロ +xala+xnia-xnial-= 解答 調。 端を含ま む区間である 直円柱の高さを 2 とすると 直円柱の底面の半径は 0<t<6&& $>x20 62-120] 三平方の定理から。 は最大値、最 生しないこと 3 y=π(√36-12)2.2t ここで,直円柱の体積をyとすると =z(36-t2)・2t=2z (36)ける場 ( 直円柱の体積) =(底面積)×(高さ) A--IS-IS+ y を tで微分すると ---6-- ■値について y'=2z(36-3t2)=-6π(2-12) 記入する。 =-6(t+2√3) (t-2√3) 大値 と 改。 -値-3と端 な。 0<t<6 において, y'=0 となるの はt=2√3 のときである。 ではな よって, 0<t<6 におけるy の増減表は右のようになる。 ゆえに, yt=2√3 で極 大かつ最大となり,その値は 2{36.2√3-(2√3)}=2.2√3(36-12)=963 また,このとき, 直円柱の高さは したがって 最大値 96√3 t 0 y' ... + 2√3 0 6章 をy' で表す。 62- dt 21 もしとな ... 6 定義域は 0<t<6 であ 関数の値の変化 > 極大 > y るから,増減表の左端, 右端のyは空欄にして おく。 ←t=2√3 のとき √62-12=2√6 2.2√3 =4√3 高さ 4√3 よって、 直円柱の高さと 底面の直径との比は 4√3:4√6=1:√2 大学 る最大 x55) PRACTICE 1879 YA 9 C 曲線 y=9-x2 とx軸との交点をA, B とし, 線分AB と この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接 させるとき,この台形の面積の最大値を求めよ。 また、 そ のときの点Cの座標を求めよ。 D 881 A 0 B x 10/30

(3)(4)のような、極値を取らないもののグラフの書き方を教えてください。 よろしくお願いしますm(_ _)m

TRAINING 178 ② 次の関数の増減を調べ, 極値を求めよ。 また, そのグラフをかけ。 (1) y=x-3x2-9x (3) y=-x-2x (2) y=6x2-x3 (4) y=x3+3x2+4x-9

x→π-0　の極限についてです。 f(x)→ π/+0 + 1 → +♾ を自明として記述したらだめですか？

x f(x): = + cosx (0 < x < r)の増減 sin x 表をつくり,x+0,x → = 0 のときの — 極限を調べよ。

なぜこの問題で逆の確認が必要になるのでしょうか。 極小　極大だから極値ですよね？

→f(x)20のときは増加の 基本 例題 182 極値から係数決定 ①①①①① 逆が不成 だから ないとい 基本180 f(x)=x+ax²-3x+b とする。 f(x)はx=1で極小になり、x=c で極大 値5をとる。 定数a, b, c の値とf(x) の極小値をそれぞれ求めよ。 CHART & SOLUTION f (α)が極値f (α)=0(必要条件):逆をかくに人口 TAME f(x)がx=1で極小になる - f'(1) = 0 f(x) がx=c で極大値5をとる→f'(c) = 0, f(c)=5 ただし, f'(1) = 0, f (c) = 0 であるからといって、x=1で極小, x=c で極大になるとは限 らない(必要条件)。 解答の「逆に」 以下で十分条件であることを確認する。 解答 f'(x) =3x2+2ax-3 f(x) は x=1で極値をとるから f'(1)=0 よって 3.12+2a 1-3=0 ゆえに a=0 ...... ・① 逆に,このとき f'(x) =0 とすると x=±1 f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) f(x) の増減表は次のようになる。 x 1 f(x) 極大 > 極小 > の 「 けない (合ってい 今 成り立つんじゃないの? なんで確 f'(1) =0 は必要条件で あるから これより得ら れる α=0 も必要条件 に過ぎない。 増減表を作って, a=0 が十分条件であること を確かめる x=1で極小, x=c 極大となるから, 2次方 程式 f'(x)=0 すなわち =(0-DE)-3x²+2ax-3=0% x=1, c を解にもつ。 解と係数の関係から -1 f'(x) + 0 - 0 + よって, f(x) はx=1で極小となるから, a=0 は適する。 x=1で極大であるから c=-1 また,①から f(x)=x-3x+b 条件より,f(-1) =5 であるから 01 >a (-1)-3(-1)+6=5 したがって b=3 よって, 極小値は f(1)=1°-3・1+3=1 以上から a=0,6=3,c=-1; 極値以下 よってc=-1, a=0 を作り,十分 条件を確認する。) 1+c=- 3 1c=-=-1 3-1 POINT f(x)=ax2+bx+cx+d(a>0) において,f'(x)=0 の判別式をDとする。 D0 のとき, f'(x)=0 の異なる2つの実数解をα, β(α <β) とすると, f(x) は, x=α で大値, x=β で極小値をとる。

数検二級二次の問題です。(1)は解けたのですが(2)の解き方がわからず困ってます。hpにも解説がないため教えていただけると嬉しいです！

7/8 問題7. (必須) 関数 f(x) =x3-9x2+15æ+7について, 次の問いに答えなさい。 2-2-6 (1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。 また, 極値をとるときのæの値を求め なさい。 (2)kを定数とします。 æの3次方程式f(x)=kが異なる3つの正の実数解をもつとき, kのとり得る値の範囲を求めなさい。 この問題は解法の過程を記述せずに,答えだけを 書いてください。

この問題の解説をお願いします🙇

例10 関数 f(x)=-x-xの増減と極値を調べる。

赤で囲んだ部分について質問です。 本来やりたい計算がxの積分でなくyの積分になるのはなぜですか？🙏

練習問題 r=2cost, y=sint で表される曲 精講 る曲線と, x軸およびy軸で囲まれる部分の面積を求めよ. 2 まずは、曲線の概形をかきます。面積を求めるために,「本来やり たい計算」をかき,それをでの積分に置換してしまいます。 パラメータ表示の場合, 置換の形がすでに与えられているようなものなので 置換積分はほとんど自動的に進みます. 解答 dx dy -=-2sint. = cost dt + dt π 2 における増減,および曲線の概形は,右下のようになる. 求める面積は tでの積分 π t 0 に置換する 2 本来やりたい計算 dx 0 Sydx= d.x dt x=2cost dt dt dy dx =-2sint t 2012 x02 →0 y=sint dt = √ sint. (-2sint) dt dt 0 (x, y) (2, 0) (0, 1) + h t= P2 1 10 半角公式 =2 積分範囲の上下 =2√ sin² tdt を入れ替えると 符号が反転する =2/2 π 1-cos 2t 2 sin 2+1] ・dt π y t=0 8 2 48

グラフの赤線を引いているところについて質問です。 問題文にyは出てきていないのに、なぜyが出てくるのですか？🙏

練習問題 8 a は実数の定数とする. πについての方程式 logx=ax² A の解の個数をαの値によって場合分けして答えよ. ただし, logx lim -= 0 であることは使ってもよい. 81 I 精講 練習問題7と同じように,f(x)=logx-ar として y=f(x) の 48 グラフとx軸の共有点の個数を考えてもいいですが,ここではもっ といい方法があります. おなじみの「定数と変数を分離させる」というテク ニックです . 解答 対数の真数条件より, x>0である. logx 両辺を'(0) logx=ar2⇔ =a で割る f(x)=10gx とおく. とαを分離した 1 r²-logr.2x I f'(x)=- I limf(x) = lim エー+0 logx =18 1-2log.x I 2- --logr + +0 lim logr 20 I 不定形ではない を用いる +0 limf(x)=lim log.x =lim log 2 =0 ∞I I ↑ 不定形 0 x>0 における f(x) の増減は、下表のようになる. I ((0) √e (∞) f'(x) 0 f(x) 8 1 (=VE) (0) 2e y=logx| y=2 方程式 f(x)=αの解の個数は,y=f(x) と y=aのグラフの共有点の個 数であるから,図より y=a すとこ f ます。 [応用 のの その条件 これが 211

なぜ190の最小値を求める問題でа＝3のときは別で考えているのに、191では別に考えていないのでしょうか？

298 基本 例題 190 区間の一端が動く場合の とする。 OSxsaにおける関数 y=-x+3xについて (1)最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 000