青線のところで、なぜいきなりy’の話をしてるのか分かりません。矢印の式変形のやり方も分からないので教えてほしいです🙇‍♀️

aa 基本例題 157 第n次導関数を求める (1) nを自然数とする。 y)=2" (1) y=sin2x のとき, yim = 2 "sin (2x+笑) であることを証明せよ。 (2)y=xの第n次導関数を求めよ。 nπ 2 p.265 基本事項 ① 指針y (n) は, yの第n次導関数のことである。 そして, 自然数nについての問題であるか 自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。 (2) では,n=1,23の場合を調べてy(n) を 推測 し, 数学的帰納法で証明する。 注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学B) 750 [1] n=1のとき成り立つことを示す。 [2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。 ...... ① とする。 解答 (1) y(z)=2"sin(2x+ Dr. 2001S == π [1] n=1のときy=2cos2x=2sin(2x+ であるから,①は成り立つ。 2 (x200+ 1)S 0000 100 重要 158, p.271 参考事項 y = "sin(2x+a) (k). = よって,n=k+1のときも ①は成り立つ。 nies) 9- [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2) n=1 23のとき.順に a (loga) [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると (1)n=k+1のときを考えると、②の両辺をxで微分して segaol d -v(k)=2k+1cos2x+ kл S dx 2 x200+I ゆえに yasin (2x++) =2411sin{2x+(k+1)x} jk+1)=2*+1sin ****** ② (x200 +ania) F p+xmiat) =

行列式についてです。 赤枠で囲んだ部分がわかりません。 問題文に何次の行列式かが書かれていないのに、n=1のときになぜ赤枠で囲んだところが取り出せるのかがわかりません。 よろしくお願いします🙇

nを自然数として,次の等式を示せ。 ao - 10. a 1 -1 A2 ... An X 0 : 0 x : 0 : ... 0aox"+a₁x²-¹ +...+an :

大問7の(2)を途中まで解いたのですが分からなくなりました。 誰か教えてください🙇‍♀️ この問題は等比数列の数学的帰納法です。

7 nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 (1) 1+5+9 + ･･･ +(4n-3)=n(n-1) 証明すべき等式をA)とする。 [1] n=1のとき、 右辺=1,右辺=1-12-1-1=1 ²²/3-²/3+1=4/30 - 1²/23 - 1²/31 ( 4n-1) an=1/214㎡-171 [1] = [2] n=kのとき(A)が 成り立つと仮定すると、 n=k+1のときは よって、n=1のとき、(A)が成り立つ。(左辺=1+5+94 n=1のとき、 (2) 1²+3²+5² +......+(2n − 1)² = n(2n − 1)(2ñ+1) 証明すべき等式を(B)とする。 =//====== /k+1}{ 1 + 4/²k+1)-33 よって、n=1のとき、 {)が成り立つ。 [2] n=1のとき(B)が 成り立つと仮定すると、 n=1+1のときは t531 = (2-1-1)², t6311 = 1/3 · 1 (2 · 1 - 1) (2 - 1 + 1) (1522) = 1²7 3²+5^²+ +(2k-1)³ + {2 (2+1)=1]} =1/13-1-3 よってn=k+10 11-3)(4(+1)-3} ときも(A)は成り立つ。 =1/2(+1)14-2)=(九州1)(2-1)[1がらすべての 自然数のについて 成り立つ。 + # )+/\1+2 (K₂)) = (k+ 1/{ 2/k+1)=]} =(+1)(2R-1) ただし MA 個の数が

⑵でどうして等比数列の和の話になるんですか？2n-1は和の形じゃなくてただの一般項ではないんですか？

40 第1章 数列の極限 Think 例題14 不等式の証明(1) nを自然数とするとき, 次の不等式を示せ] 1 (1) n!≥2"-1 (2) 3! 解答 THE (3) 考え方 (1) 数学的帰納法を用いる. (1) (I) n=1のとき, 利用できないか考えてみる. (3) 二項定理と (2)の結果を利用する. n! (n= n=1のとき成り立つ 1 1 1 (2)(1)では2'-' であり, (2)では+2 + 1 1! 2! (左辺)=1, (右辺) = 1 より, 1 1 1 + + n=k+1 のとき. 1!2! (n+1)" n" + ++ + となり成り立つ. (II)n=kのとき, 与式が成り立つと仮定すると, k! 22-1 (k≥1) (+1)! 2 が成り立つことを示す。 (k+1)!= (k+1).k!≧(k+1).2k-1 ここで,k≧1 より したがって, ②より (k+1)! ≧2 となり,n=k+1の も与式は成り立つ. よって, (I), (Ⅱ)より、 すべての自然数nに対して, n! ≧2" - は成り立つ. (2)(1)より,n!≧2"-' であるから, + よって、与式は成り立つ 1 1 1 1 n! 20+21 =(n+1)=(1+1/2) (n-1)! 1 k+1≧2 (k+1).2k-¹≥2.2k-1=2k + (1) ゴーゴーゴー 2 1 n(n-1) 2! ·+· 1 -<2 1 n! 2" +...... + +...... n(n-1)...2 n"-1 + ++ (左辺) = (右辺) -=2{1-(2)"}<2 + 21-1 n-1 +.C. (!) + .C. (1) Ch 1 n! n! n" (3) n!」 (③3) (n+1)" n" であるから 示したい式を見 ておく. ①を利用する 1530 +0<1- H>AL ab>0 のとき a<b< ! 初項 10 12/21 =1. 公 の等比数列の第 までの和 10 (12) <1より。 <¹-(-2)* <¹ <1 10 19

矢印で示した部分の式変形の解説をお願いしたいです🙏

例題 323 数学的帰納法と合同式 整数 an=19"+(-1)n-1.24n-3 (n=1,2,3, ..……) のすべてを割り切る 素数を求めよ. (東京工業大) 考え方 自然数nに関する証明は数学的帰納法を用いる. まずは n=1, 2 で具体的に調べてみる. (別解) の合同式を使うとよりすっきりした解答になる. [合同式] 整数a,bをmで割ったときの余りが等しいとき, (つまり, a-bがで り切れるとき,) aとbはmを法として合同であるといい, a=b (mod m) と書く. "Paly 100-1=10€/sts Impo 解答| n=1のとき, α=19'+(-1)1-1.24・1-3=19+2=21=7×3 a1, d2 の具体例で,求 n=2のとき, az=192+(-1)2-1.24･2-3=192-25 素数を特定する. これより, a1,a2 を割り切る素数は7だけである. よって, =329=7×478=6+0= す すべての an7で割り切れること を数学的帰納法で示す. (I) n=1のとき, α=21=7×3より (*)は成り立つ とおける.n=k+1のとき, $30 A=# >TH . 9 (AZA) ..... ...(*) (II)n=kのとき, αkが7で割り切れると仮定すると, an=19k+(-1)-1.2437p (pは整数) ak+1=19k+1+(-1)(k+1)-1.24(k+1)-3 =19.7p-(-1)^-1・24k-3.35 =7{19p-(-1)^-1.24k-3.5} **** =19{7p-(-1)-1.24k-3}+(-1)k.24k+1- |19=7p-(-1) k-1.24k. =19.7p-(-1)-1.24k-3(19−(-1)・24} 19-(-1)・2=19 +16 (1), ()=2" (mod 7) より, y (0-)(-A)*$ ► =(−2)² + (−1)n-¹.2″ (1+A£)$=0) =(-1)"•2"-(-1) 2 YSOH +8 +3 SATIKUS ak が7で割り切れる ⇔ an は 7の倍数 これより,n=k+1 のときも(*)は成り立つ。 (I), (II)より, すべての自然数nに対して(*)は成り立つ ので,求める素数は7である. -ore= (別解) 19"=(21-2)=(-2)" (mod 7) A)AS (I+AS) (21-2) nCo(-2)" 24n-3=2".23n-3=2"•(23)"-1=2"(7+1)^-1(S) AS) AS =0 (mod 7) よって, an は 7の倍数であり, a1,a2 を割り切る 素数は7だけであるから, 求める素数は7である. =35 (D+C1・21・(-2)"-1+…. (+2Cn_121"-1.(-2) an=19"+(-1)^-1.247-3L) (IS) A+C,21" 次の式 mmmm 7の倍数 れている

赤線部分(49k)がどこから来たのか分かりません🙇🏻‍♀️

(2) 「23n- 7n-1は49の倍数である」 を(A) とす ARI る。 [1] n=2のとき 1 23-2-7-2-1=49 よって, n=2のとき, (A)が成り立つ。 [2] k≧2として,n=kのとき (A)が成り立つと 仮定する。 すなわち, ある整数mを用いて S (ALS 23k-7k-1=49m と表されると仮定する。 n=k+1のときを考えると 23(k+1) -7(k+1)-1=8・23-7k-8 + =8(23k-7k-1)+49k =49(8m+k) e=1.S+ 1. ここで, 8m+kは整数であるから, める 23(k+1)-7(k+1)-1は49の倍数である。 よって, n=k+1のときも (A)が成り立つ。

赤線部分の式変形の仕方が分かりません🙇🏻‍♀️

CONNECT 12 倍数の証明 nは自然数とする。5n+1+62n-1 は 31 の倍数であることを,数学的帰納法を用 いて証明せよ。 Joy 考え方 段階 [2] では, 5+1+62k-131m を仮定して, 5 (k+1)+1 +62 (k+1)-1 が 31 の倍数 であることを示す。 解答 「5n+1+62n-1は31の倍数である」 を (A) とする。 [1] n=1のとき 52+6=31 18 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A)が成り立つと仮定する。 すなわち, ある整数mを用いて5k+1+62k-1=31m と表されると仮定する。 n=k+1のときを考えると 5 (k+1)+1 +62(k+1)-15・5k+1 +36.62k-1=5(5k+1+62k-1) +31.62k-1 =31(5m+62k-1) 88 ここで,5m+62k-1 は整数であるから,5(k+1)+1+62(k+1)-1 は 31 の倍数である。 よって, n=k+1のときも(A)が成り立つ。 AVATAR [1], [2] から すべての自然数nについて (A)が成り立つ。 終

数学的帰納法を使う証明では、最初に「数学的帰納法で示す」と書かなきゃいけない理由はなんですか？

(2^k - 1) + 2^k = 2・2^k - 1 になる理由が分かりません。 分かる方解説して欲しいです🙇‍♀️

第1章 数列 東習 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。 12 (1) 1+2+22+......+2"-1=2"-1

赤線の部分の式は、何の公式に代入してますか？🙇🏻‍♀️

D n 3 は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 3.00 教 * (1) 1+5+9+ + (4n-3)=n(n-1)