(２)から教えてください。解説で、なぜx=1,3に注目するのかがわからないです。

問題 IV a を実数とする。 2つのæの不等式 (x-2) (π-4a) < 0 ② x- -(a+1) < 0 について,以下の問いに答えよ。 0 (1) (39) である。 (1) ①を満たす実数 æがないとき,a= (40) (2) ①を満たす整数がないとき, aのとりうる値の範囲は, (41) (43) 0(6) Sas である。 (42) (44) (3)①を満たす整数が1つだけあるとき,aのとりうる値の範囲は, (45) Ma< (46) (48) (47) (49) ((((株) (50)である。 (4) ①,②をともに満たす実数がないとき,aのとりうる値の範囲は、 (51) a (53) である。 (52) (5) ① ② をともに満たす整数æがちょうど2つあるとき, αのとりうる値の範囲は、 (54) (56) Sa<-- (58) a)である。 (55) (57) JA A (30点) DA 08 広島 I

x^2の係数が正だから判別式D≦0になるのはなぜですか？ D＜0では無いのですか？

23 すべての実数に対して不等式 -xmx-1 が成立するような定 <香田可〉 数mの範囲は である。 〈藤田保衛大看〉 (2)xについての2次不等式 kx²+(k+3)x+k>0 の解が、すべての実数と なるように, 定数kの値の範囲を定めよ。 〈鹿屋市立看專〉

解き方教えて欲しいです🙏

〔2〕 αを定数とする 2次関数y=x2+4(a -2)x +2c+8のグラフをCとする。 (1)Cの頂点の座標は (一 ア a+ イ ウ + エオ a- カ ) である。 (2) Cの頂点のy座標はα- (3) Cがx軸に接する場合, a= キク ク シス ケコ ・のとき最大値・ をとる。 サ セ である。 (4)x2x3の範囲にあるとき、 この2次関数の最小値は ソ Sas チ ならば - ウ ^ + エオ am カ タ ソ ーならば, シテ - ト チ <aならば、 ナ + ニヌ である。

(2)のxを導出する式、考え方がよくわからないです💧‬

3次方程式 x9x2+24x-k=0 が3つの実数解 α,B,y 00000 308 基本 例題 196 3次方程式の実数解のとりうる値の範囲 (a<B<y) をも つとき,次の問いに答えよ。 (1) 定数の値の範囲を求めよ。 CHART & SOLUTION (2) α, B, yの値の範囲を求めよ。 方程式 f(x)=k の実数解のとりうる値の範囲 p.306 基本事項 基本 195 (大井) 曲線 y=f(x)と直線 y=kの共有点のx座標を調べる まず, 方程式を f(x) =k の形にする。 は色の (1) 曲線 y=f(x) を固定し, 直線 y=k を動かしながら, 異なる3つの共有点をもつの 値の範囲を探る。できになるはずである。 その0にな (2) 異なる3つの共有点をxの値の小さい方から順にα, β, yとして, それぞれのとりうる 値の範囲を求める。 解答 (1) 方程式を変形して り立たない <2で考えると(-1)=(1) 0120(すなわち(-2)(2)>である(2) x-9x²+24x=k) \ f(x)=x3-9x2+24x とすると大番へ f'(x)=3x²-18x+24=3(x²-6x+8)=3(x-2)(x-4) 定数を分離して,y=k というx軸に平行な直 線として考える。 基本例 3次方程式 囲を定めよ。 CHART & 方程式を f Ⅲの知識が べる。 実数 よいだろう 解 合 f(x)=x y=f(x) f'( f'(x)= 増減表 極 極 y=f(_ f'(x) =0 とすると x=2,4 x ... 2 4 3 増減表から, y=f(x) のグラフは右下の図のよ f'(x) + 0 0 + f(-v うになる。 方程式の異なる実数解の個数が,このグラフと 直線 y=k の共有点の個数と一致する。 実数解の数=共有点の数 f(x) 極大 極小 f(- 20 16 -2a a>0 よって、グラフから共有点を3個もつときは 16<k<20 ya (2) f(x)=16 となるxの値は y=f(x)小値の他に f(x)=16 (x-4)(x-1)=0 から x=1,4 となるxの値を求める。 201 f(x) =20 となるxの値は 16-7 y=k (x-2)2(x-5)=0 から (1)から 16 <k < 20 x=2,5 3次方程式はx=4 の 重解をもつことを利用。 f(x)=20も同様。 [ O 方程式の異なる実数解は曲線 y=f(x) 直線 y=k の共有点のx座標と一致する 12 B 45 x (x)=x 共 α<B<y であるから,グラフより 1<a<2,2<B<4,4<x<5 PRACTICE 196Ⓡ 3次方程式 x12x+k=0 が3つの実数解 α, β, r (a<β<y) をもつとき、次の問 いに答えよ。 (1) 定数kの値の範囲を求めよ。 (2) α, β, yの値の範囲を求めよ。

対称式、基本対称式とはどういうことですか 解と係数の関係は二次式の時はいつでも使えますか？

290 基本 例題 184 3次関数の極大値と極小値の和 α は定数とする。 f(x)=x+ax²+ax +1 が x=α, B (a<β) 極値をと る。 f(α)+f(B)=2のとき, 定数αの値を求めよ。 CHART & SOLUTION 00000 基本183 3次関数f(x) x=α, β で極値をとるから, α, βは2次方程式 f'(x)=0の解である。 しかし、f'(x)=0 の解を求め, それを f(x)+f(B)=2に代入すると計算が煩雑。 f(a)+f(B) はαとβの対称式になるから α.8の対称式 基本対称式α+β, αβで表されるに注目して変形。 なお,α+ β,aβ は, f'(x) =0で解と係数の関係を利用すると αで表される。 解答 f'(x) =3x2+2ax+a f(x) が x=α, β で極値をとるから, 0 まと 数学Ⅱ p.283 の特徴 3次 2次) f f'(x) =0 すなわち 3x2+2ax+a=0 ...... ・① は異なる2つの実数解 α, β をもつ。 ①の判別式をDとすると 0-G -=a²-3a=a(a-3) 4 まず、f(x)が極値をも つようなαの範囲を求 止めておく (基本例題183 (1) と同様)。 a> D>0 から a < 0,3<a また,①で,解と係数の関係により 2 実の a+B=-a, aẞ=a ここでf(a)+f(B)=a3+ax²+aa+1+3+a2+aβ +1 =(ω°+β3)+α(a2+ B2)+ α(a + β)+2 =(a+β)-3aB(a+B)+α{(a+B)2-2μß}+α(a+B)+2 =(a+B)3-3aß(a+B), x+a {( — — —³a)² - 2 — —³a}+a⋅(-1)+2 4 a²-a¹+2 27 f(x)+f(B)=2から 12/17 - 1/2/30°+2=2 よって 2a3-9a2=0 ②を満たすものは a=- すなわち a²(2a-9)=0 J 2 a2+B2=(a+B)2-2a αを消去。 inf. この問題では極大値 と極小値の和f (a)+f(B) を考えた。 極大値(もしく は極小値)を単独で求める 必要がある場合に,極値の x座標であるα (もしくは B)の値が複雑な値のとき は EX 148 を参照。 左 PRACTICE 184Ⓡ

(2)について教えてください💧‬ グラフの書き方も、数値の出し方もわかんないです

205 00000 aは定数とする。 0≦02 のとき, 方程式 sin20-sin0=αについて 例題 126 三角方程式の解の個数 この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。 この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ 基本125 0000 および最大 基本124 CHART & SOLUTION 方程式 f (0)αの解 2つのグラフ y=f(0),y=aの共有点 sin0=k (0≦0<2π) の解の個数 k=±1 で場合分け ………… 目の個数はk=±1 のとき1個; -1 <k<1 のとき2個 ; k<-1, 1< のとき0個 その方の三角 を含む2 (1) sin20-sin-a ① とする。 (0 CO 4歳 sind=t とおくと 式に変 形に変形。 方程式 ②③の範囲の解をもつことである。 t 4 1 グラフと直線y=qの共有点の座標であるから, 右の図よりas ●方程式 ②の実数解は、y=e-1 (1-12-12 [2] ただし, 0≦02 から ③ したがって, 方程式 ①が解をもつための条件は, t2-t=a ...... ② 16 y y=f-ti [1]→ 2 y=a [2]→ 1 1-1 0 2 1/ [4] [5] 1 4 三角関数のグラフと応用 200nas 18 数の ●(2)(1)の2つの関数のグラフの共有点のt座標に注目すると, 方程式の解の個数は,次のように場合分けされる。 [1] a=2 のとき, t=-1 から 1個 Daor [2] 0<a<2 のとき, -1<t<0 から 2個 [3] (1)[4]- [3] α=0 のとき, t = 0, 1 から 3個[4] [5] 2π [3] [4] 14-1 <a<0 のとき,O<t</12/1/11121 70 [2]→ の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり, そ [1] - れぞれ2個ずつの解をもつから 4個 t=sin0 [5] α=-- のとき,t=- 11 から 2個 2 個 [6] a<-12<a のとき 2- PRACTICE 126 を定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数を一π<x≦πの範囲 [類 大分大] で求めよ。

（4）をやるときいつも4−a2乗＜0と0＜a ＜4を入れてしまいます。この二つが不要な理由を教えていただきたいです。 また、どちらもこのグラフに合っている情報なのにこの情報を入れると違う回答になってしまう理由もできたら教えて欲しいです。

2次方程式2-2ax+4=0 が次の条件をみたすようなαの値 の範囲をそれぞれ求めよ. (1) 2解がともに1より大きい. (2)1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい. (3) 2解がともに0と3の間にある. (4) 2解が0と2の間と24の間に1つずつある.

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

基礎問 96 接線の本 曲線 C:y=x-x上の点を T(t, ピーt) とする. (1)点Tにおける接線の方程式を求めよ. 2点A(a,b)を通る接線が2本あるとき, a,bのみたす関係式 を求めよ。ただし,a>0, b≠α-a とする. (3)(2)のとき、2本の接線が直交するような a, b の値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し ます. だから (1) の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 95 注 で学習済みです. (3)未知数が2つあるので,等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです。接線の傾きは接点における微分係数 (84) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t-t)=(3-1)(x-t) y=(3t2-1)x-2t3 (2)(1)の接線は A (a, b) を通るので b=(3t2-1)a-2t3 ∴.2t3-3at2+a+6=0 ......(*) (*) が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t3-3at2+α+ b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値,極小値をもち, |86| y=x³- (極大値)×(極小値) =0であればよい. (t,t³-t) A(a,b) 95注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから

このような場合でも極値を持つじゃないですか、 なぜ極値をもつ条件がf'(x)の符号が変わる、異なるふたつの実数解をもつ、判別式D>0になるのでしょうか

288 基本 例題 183 極値をもつ条件・ もたない条件 (1) 関数f(x)=x+ax²+(3a-6)x+5 が極値をもつような定数αのの 範囲を求めよ。ラ (類名古屋大) (2) 関数f(x)=2x+kx2+kx+1 極値をもたないような定数kの値の 囲を求めよ。 CHART & SOLUTION [類 千葉工大 ] (1) 3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(α)=0を満たす x = α が存在し, x=αの前後で f(x) の符号が変わる f'(x) =0 が 異なる2つの実数解をもつ f'(x)=0 の判別式 D>0 (2) 3次関数 f(x) が 極値をもたない⇔ f(x) が常に増加 [または減少] ⇔f'(x)の符号が変化しない 基本 12 ⇔f'(x)=0が重解をもつか実数解をもたない ⇔f'(x)=0 の判別式 D≦0 ①...... 3次 基本 もた 詳し 3次 3 (i) (ii) 解答 0 (1) f'(x)=3x2+2ax+3a-6 f(x) が極値をもつための必要十分条件は, f'(x) の符号が 変化することである。 (1) D>0 y=f(x) よって, f'(x)=0 すなわち 3x2 +2ax+3a-6=0 ① + + が異なる2つの実数解をもつ。 e I ①の判別式をDとすると argo D=α-3(3a-6)=α-9a+18 4 D>0 から (a-3)(a-6)>0 これを解いて a <3,6<a (2) f'(x)=6x2+2kx+k (2) 37 y=f'(x) / D=0| 3 + + X (i) y=f(x) / (ii) f(x) が極値をもたないための必要十分条件は, f'(x) の符 号が変化しないことである。 {=8+1-8-1=(1) よって, f'(x)=0 すなわち 6x2+2kx+k = 0 重解をもつか実数解をもたない。 ②が D<0 ② の判別式をDとすると D=k2-6k D≦0 から k(k-6)≤0 これを解いて + PRACTICE 183® D<0 は誤り。 (1) 関数f(x)=x-3mx²+6mx が極値をもつような定数の値の範囲を求めよ。 (2) 関数f(x)=x+(k-9)x2+(k+9)x+1 (kは定数) が極値をもたないような の値の範囲を求めよ。 ((1) 85 (2) 千葉工大] D:

点A、点Bは座標の位置が違うじゃないですか、 なぜ=で繋ぐのでしょうか？

d 276 重要 例題 177 共通接線 00000 2曲線 C:y=x2, Czy=-x+2x-1 の両方に接する直線の方程式を求 めよ。 CHART & SOLUTION 2曲線 Cy=f(x), C2:y=g(x) の両方に接する直線 方針 C. 上の点 (α, f (a)) における接線の方程式を求め、こ の直線がC2に接すると考える。 -- 接するD=0 …… 0 基本 174 176 接する \C₁y=f(x) 方針②上の点 (a, f (a)) における接線とC2 上の点(b,g(b)) における接線の方程式をそれぞれ求め, これらが一致す 接する 接する /C2:yg(x) 接する ると考える。 →y=mx+nとy=m'x+n' が一致 ⇒m=m' かつn=n' 「共通接線 方針③ 求める直線の方程式を y=mx+n とおいて, この直線がC, C2に接すると考え る。→ 2曲線と接する⇔ Di=0 かつ D2=0....... なお、この直線を2曲線の共通接線という。 解答 方針① y=x2 から 0 y=-x+2x-1 から ② 方針①と5行目までは同じ) y'=-2x+2 C上の点(b,62+26-1) における接線の方程式は すなわち y-(-b²+2b-1)=(-2b+2)(x-b) y=(-26+2)x +62-1 ② 直線 ①,②が一致するための条件は 2a= ③から 付 -26+2 ······ ③ かつ a=b2-1 ・・・・・・ ④ a=-6+1 ④に代入して よって -(-6+1)2=62-1 b(b-1)=0 b=0 のとき y=2x-1, ② から, 求める直線の方程式は b=1のとき y=0 b=0,1 の方程式を y=mx+n とおく。 y=x2 と連立して 方針③ 求める直線でx軸に垂直であるものはないから、そ x2=mx+n すなわち x2-mx-n=0 この2次方程式の判別式を D, とすると D=(-m)2-4(-n)=m²+4n m²+4n=0 ...... ① 0 Di=0 から 同様に, y=-x+2x-1 と連立して すなわち -x2+2x-1=mx+n x2+(m-2)x+n+1=0 この2次方程式の判別式をDz とすると D2= (m-2)2-4(n+1) (m-2)2-4n-40 ...... ② m²+(m-2)2-4=0 y=f(x) 上の点 (a, f (a)) における接線 の方程式は y-f(a)=f(a)(x-a) 係数を比較。 αを消去。 -62+26-1-62-1 -262-26-0 2 6 & ¥ G Q & 277 inf 方針3 は, 与えられ た曲線が両方とも2次関数 のグラフである場合に考え られる解法。 放物線と直線が接する ⇒ 重解をもつ 判別式 D=0 y'=2x よって, C上の点A(a, α2) におけ A 6 る接線の方程式は y-a²=2a(x-a) f(x) 上の点 0 D2=0 から 20 すなわち y=2ax-a². ・① 直線 ① が C2 に接するための条件は, yを消去した2次方程式 (a, f (a)) における接線 の方程式は ①+②から よって 2m(m-2)=0 nを消去。 C2 y-f(a)=f'(a)(x-a) m=0,2 ①から m=0 のとき <2m²-4m=0 n = 0, -x2+2x-1=2ax-2 m=2のとき n=-1 すなわち x2+2(a-1)x-q²+1 = 0 よって、 求める直線の方程式は y=0, y=2x-1 微分係数と導関数 が重解をもつことである。 ゆえに、この2次方程式の判別式をDとすると INFORMATION " D 2=(a-1)-(-4°+1)=24²-2a D=0 から 2a2-2a=0 すなわち 2a(a-1)=0 これを解いて a=0, 1 ① から, 求める直線の方程式は a=0 のとき y=0, 共通接線を求める方法は解答のようにいろいろな方針が考えられるが,与えられた2 つの関数が 放物線と直線が接する ⇒ 重解をもつ 2次関数と2次関数 方針1 2 3 2次関数と3次以上の関数 → 方針1, 2 判別式 D=0 2つとも3次以上の関数 方針 2 となり、方針②が応用範囲が広いことがわかる。 a=1のとき y=2x-1 inf グラフをかくと、直線 y=0 (x軸)が共通接線となるこ とはすぐにわかる。 RACTICE 177 2つの放物線 C:y=x'+1,Cz: y=-2x+4x-3の共通接線の方程式を求めよ。 ta C