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重要 例題 177 共通接線
00000
2曲線 C:y=x2, Czy=-x+2x-1 の両方に接する直線の方程式を求
めよ。
CHART & SOLUTION
2曲線 Cy=f(x), C2:y=g(x) の両方に接する直線
方針 C. 上の点 (α, f (a)) における接線の方程式を求め、こ
の直線がC2に接すると考える。
--
接するD=0 …… 0
基本 174 176
接する
\C₁y=f(x)
方針②上の点 (a, f (a)) における接線とC2 上の点(b,g(b))
における接線の方程式をそれぞれ求め, これらが一致す
接する
接する
/C2:yg(x)
接する
ると考える。
→y=mx+nとy=m'x+n' が一致
⇒m=m' かつn=n'
「共通接線
方針③ 求める直線の方程式を y=mx+n とおいて, この直線がC, C2に接すると考え
る。→ 2曲線と接する⇔ Di=0 かつ D2=0.......
なお、この直線を2曲線の共通接線という。
解答
方針① y=x2 から
0
y=-x+2x-1 から
② 方針①と5行目までは同じ)
y'=-2x+2
C上の点(b,62+26-1) における接線の方程式は
すなわち
y-(-b²+2b-1)=(-2b+2)(x-b)
y=(-26+2)x +62-1 ②
直線 ①,②が一致するための条件は
2a=
③から
付
-26+2 ······ ③ かつ a=b2-1 ・・・・・・ ④
a=-6+1
④に代入して
よって
-(-6+1)2=62-1
b(b-1)=0
b=0 のとき y=2x-1,
② から, 求める直線の方程式は
b=1のとき
y=0
b=0,1
の方程式を y=mx+n とおく。 y=x2 と連立して
方針③ 求める直線でx軸に垂直であるものはないから、そ
x2=mx+n すなわち x2-mx-n=0
この2次方程式の判別式を D, とすると
D=(-m)2-4(-n)=m²+4n
m²+4n=0 ...... ①
0 Di=0 から
同様に, y=-x+2x-1 と連立して
すなわち
-x2+2x-1=mx+n
x2+(m-2)x+n+1=0
この2次方程式の判別式をDz とすると
D2= (m-2)2-4(n+1)
(m-2)2-4n-40 ...... ②
m²+(m-2)2-4=0
y=f(x) 上の点
(a, f (a)) における接線
の方程式は
y-f(a)=f(a)(x-a)
係数を比較。
αを消去。
-62+26-1-62-1
-262-26-0
2 6 & ¥ G Q &
277
inf 方針3 は, 与えられ
た曲線が両方とも2次関数
のグラフである場合に考え
られる解法。
放物線と直線が接する
⇒ 重解をもつ
判別式 D=0
y'=2x
よって, C上の点A(a, α2) におけ
A
6
る接線の方程式は
y-a²=2a(x-a)
f(x) 上の点
0
D2=0 から
20
すなわち
y=2ax-a².
・①
直線 ① が C2 に接するための条件は,
yを消去した2次方程式
(a, f (a)) における接線
の方程式は
①+②から
よって
2m(m-2)=0
nを消去。
C2
y-f(a)=f'(a)(x-a)
m=0,2
①から
m=0 のとき
<2m²-4m=0
n = 0,
-x2+2x-1=2ax-2
m=2のとき
n=-1
すなわち x2+2(a-1)x-q²+1 = 0
よって、 求める直線の方程式は
y=0, y=2x-1
微分係数と導関数
が重解をもつことである。
ゆえに、この2次方程式の判別式をDとすると
INFORMATION
"
D
2=(a-1)-(-4°+1)=24²-2a
D=0 から
2a2-2a=0
すなわち
2a(a-1)=0
これを解いて a=0, 1
① から, 求める直線の方程式は
a=0 のとき y=0,
共通接線を求める方法は解答のようにいろいろな方針が考えられるが,与えられた2
つの関数が
放物線と直線が接する
⇒ 重解をもつ
2次関数と2次関数
方針1 2 3
2次関数と3次以上の関数
→
方針1, 2
判別式 D=0
2つとも3次以上の関数
方針 2
となり、方針②が応用範囲が広いことがわかる。
a=1のとき
y=2x-1
inf グラフをかくと、直線 y=0 (x軸)が共通接線となるこ
とはすぐにわかる。
RACTICE 177
2つの放物線 C:y=x'+1,Cz: y=-2x+4x-3の共通接線の方程式を求めよ。
ta
C
