階差数列の問題で、⭕️がついてるところの式がわからないです。 等比数列のシグマ計算の時、分子は公比をかけるんじゃないんですか？ 教えてください🥲🙏🏻

(2) 与えられた数列の階差数列をとると, 1, 2, 4, 8, ... となる. と これは,初項1, 公比2の等比数列だから D0D (E) 第n項は, 2-1 115 よって, 求める数列の一般項は,n≧2 のとき n-1 2k-1=2+ k=1 2n-1-1 2-1 -=2"-1+1 119 これは, n=1のときも含む. 吟味を忘れずに よって, 初項から第n項までの和は Σ(2k-1+1)=2 n k=1 k=1 2"-1 k=1 +n=2"+n-1 2-1 [119]

(1)をがよく分からないのですがどなたか丁寧に解説お願いします🙇‍♂️

1から順に並べた自然数を, 1|2,3|4, 5, 6, 78, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16, ... のように,第n群 (n=1, 2, …) が 2"-1 個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3) 3000 は第何群の何番目にあるか. 精講 ある規則のある数列に区切りを入れて固まりを作ってできる群数列 を考えるときは, 「もとの数列ではじめから数えて第何項目か?」 と考えます.このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数 に着目します. 解答 (1)第 (1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて 各群の最後の数が基 (1+2+…+2"-2) 項目 . 準 すなわち, (2^-1-1) 項目だからその数字は 等比数列の和の公式 を用いて計算する 2-1-1 よって,第n群の最初の数は (2-1-1)+1=2n-1

⬇の問題は、それぞれ⓪①②③全て解くしかないですよね？

(1) A=x+xy+xy2+ya, B=x'+xy+y', C=x'+xy2+y” のとき、 xxyxy2+ya を表す式は、次の①~③のうちどれか。 - ア @ -3A + 3B + c ② -3A + B + 3C (2) 0 ① -3A+2B+2C ③ -3A+4C (a+b)(a+b+ab + 1) と等しくない式は、次の①~③のうちどれか。 ② ① ( 6 + 1)a°+(b+1)'a + 6(6+1) (a +6 +1)(ab+a+b) (a+b)(a+1)(6+1) (a+b)2+ab(a+b)+a+b ③ イ

ここの＋1ってなんですか？

24 (1) 80から200までの自然数のうち, 5の倍 数を順に並べると 5.16, 5.17, ......, 5.40 これは初項80, 末頃 200, 項数(40-16)+1=25 の等差数列であるから, 求める和は 1 2 • 25(80+200) =3500 (2)80から200 までの自然数の和は, 初項 80, 末項 200, 項数 (200-80)+1=121の 等差数列の和であるから 2 • 121(80+200)=16940 30<.2 (1) から, 求める和は 16940-3500=13440 (3)80から200 までの自然数のうち, 6で割ると4 余る数を順に並べると 6・13+4,6.14 +4, ......, 6.32 +4 これは初項 82, 末項 196, 項数 (32-13)+1=20 の等差数列であるから, 求める和は $18 1 2 20(82+196)=2780

私は青い線の方法で解いていくのですが演習問題の様な問題で指数部分がn+1じゃないときはどの様にすればいいのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

190 第7章 数列 問 125 2 項間の漸化式 (IV) a1=0, an+1=2an+(-1)+1 (n≧1) で定義される数列{az} が ある. an (1)bn=mm とおくとき,bn+1 を bm で表せ. (2)6m を求めよ. (3) an=2"bn =1/2"-2" { ""}}=1/12"-2(-1)*-1} 参考 -(2-1-(-1)-1) (IIの考え方で) ①の両辺を (−1)" +1 でわると, an+1 (-1)+1 2an 6 (3)an を求めよ. しる (-1)+1+1 an+1 an .. (-1)+1= ・=-2・ ・+1 ......③ (-1)" 精講 an+1=pan+gn+1 (p = 1, g≠1) 型の漸化式の解き方には,次の2 通りがあります。 ここで,-1)=b, = bm とおくと, (1) 月+1 an+1 =b+1 だから ③よりbn+1=-26+1 .. bn+1- 3 I. Bats-1/2=-2(0-1) I. 両辺を "+1でわり, 階差数列にもちこむ (124ポイント) Ⅱ. 両辺をgn+1 でわり+1 = rb„+s 型にもちこむ この問題ではIを要求していますから, ます。 == 11/3 だから、 にIIによる解法を示しておき bn- (-2)"- . bx-(1-(-2)-1) 191 ①に, a=2"bn, an+1=2+1bn+1 を 6/13--1/1-20-1 an=(-1)"bm=1/2(2"-1-(−1)"-1} 3 注 この問題に限っては, 両辺に (-1)+1 をかけて (-1)"αn=bn と おいても解けます。 解 答 an+1=2an+(-1)+1 ...... ① (1) ①の両辺を2+1 でわると, \n+1 an+1 an ......② 2" 21-2+(-)-2 an =bm とおくとき, n=bm+1 と表せるので 2" [n+1 *) b=b+(-) (2) n≧2 のとき, bm=b1+ +(-/-) k+1 代入してもよい 121 階差数列 ポイント 漸化式は,おきかえによって, 次の3つのいずれかの 118 n-1 初項 1. 公比 - 12/27 演習問題 1252 =0+ 項数n-1の 6 1+ 等比数列の和 E (1) これは, n=1のときも含む. 吟味を忘れずに 型にもちこめれば一般項が求まる I. 等差 Ⅱ.等比 III. 階差 a1=3, an+1=3an+2" n≧1) で定義される数列 {an がある. an =bm とおくとき, bn+1と6の間に成りたつ関係式を求め よ. (2) bnで表せ. (3) α をnで表せ.

ここの途中の計算をどなたか教えてください🙏

(2) 求める和は, 初項 2" -1, 公差 2, 項数 2"-1 の等差数列の和であるから ラ 10 11.2"-1{2(2"-1)+(2"-1-1)・2} =3.4"-1-2"

nを自然数とする時、1から2n+1までの奇数の和を求める問題で、どうして項数がn+1になるのか教えて欲しいです🙇‍♀️

(2) 求める和は, 初項 1, 末項 2n+1, 項 数 n + 1 の等差数列の和であるから 1 +3 + 5 + ･･･ + (2n+1) 1/1(n+1){1+(2n+1)} or-na (2D)= 111 (n+1)(2n+2) = (n+1)2 #D OS 【参考】 1から始まるn個の奇数の和は n となる。 SS

公差を求める式のところで何をしているのかが分かりません🥺教えてください！！

4.5と15の間にn個の数を入れて等差数列を作ると,その総和が 100 になった. このとき,nの値と公差を求めよ. 解答 この等差数列の項数は n+2 初項から第 (n+2) 項までの和をSとすると S=1/2(n+2X-5+15)=5n+ 10 S=100 であるから 5n+10=100 よって n=18 20 ゆえに d= 229 19 また、公差をd とすると -5+{(18+2)-1}d=15 20 したがって n=18, 公差 19

2で割ったら１あまり 3で割ったら2余る数字を並べてできる数列を出すなどの様なものが苦手なのですが何かコツはあるのでしょうか？

113 100 以下の自然数について, 2でわったら1余り, 3でわったら2 余る数を小さい順に並べてできる数列は等差数列になる. このと き,初項,公差, 項数を求めよ.

積分法の問題を教えて頂きたいです。（2）でx=1の時（1）の和を微分したものではなかったのでxが1出ない時の計算も和を微分しては行けないのではないかと思ったのですがなぜ微分できるとわかったのでしょうか？教えて頂きたいです。

G EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。 ⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+...... n ・・+nx"-1 を求めよ。 n (3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い てよい。 n=1 2n 2n [類 東北学院大 ] (1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場 合分け。 ら第n+1項までの和であるから 1+x+x2+······+x=. 1-xn+1 1-x ① ← x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1 (2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI- 1+2+3x²+....+nx" n-1 -(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1) (初項){1-(公比)項数} 1-(公) ←1x(n+1) ←(x)' 0-1 ・(-1)(*)←(%)=o_ur (1-x)2 よって 1+2x+3x2+......+nx" _n-1= nxn+1−(n+1)x +1 (1-x)2 ② ←)の右辺の分子を整 x=1のとき 1+2x+3x2+ +nxn-1 理。 (x)=(x) 1 (笑)=1+2+3+･･･ •+n=⋅ 2 (+1) n(n+1)(x)(x)= (3)x=1/2 ②の両辺に代入すると =(x) n 比部分は 2 3 n 1+ + +…+ = 2 22 2n-1 2n+1 2n k n n+1 両辺を2で割ると IM = k=1 ゆえに = 2(12/2 nk n . よってm=lim k=12k こ k=12k 8 2n+1 n 1 - 2n 2n 2n n ****lim-lim2(+1) n=12n n→∞ =2 20 2" 2+1) n 01 n+1 +1)*(- n=1 27 12 であることに注目し (x)0 2 x=1/2 を代入。 nk ←部分を求めた k=12k - +1 n = ことになる。 0= 22" D +2(-0-0-0+1)