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(1) (の6二1) 一(g二の=一g一5二1=(g一1)(6ー1)
ここで gl <1, |中<1より eg--1<0, 5ー-1<0
ゆえに (ce-1)6ー1)>0
goの十1>g十ち
(2②) |g| <1, |中<1, |cl<1 より gl <1. |cl <1
goc十2ニー(gのDc二1)十1> (5 1 =(g%十1)十c>g十6十c
と 9r
ab … gpc十2 >g十5十c
(3 |e| <1, |中<1. cl <1. 12 | <1 より | <1. |cg| < 1
eocg 十 3 = (qヵ)(cの) 1二2 >の十cg十2ニog十1十cの1>g十5十c十d
cpcg十3>o十ち十c十@
「 の⑰二1>g十もを示すのが目的なので、 いきなり qp二1一gp>0と記述してはならない.
(左辺) 一 (右辺)三cp士1一g一ちを変形していき, > 0 であることを示す 必要がある
本問の場合は 因数分解 し. さらに 与えられた条件を用いる と > 0 を示すことができる.
lg| < 1 を- 1<@<く1 などより,g一1<0, 5ー1<0 なので (積) > 0 である
(2) の不等式は (1) の不等式と同じような形をしているので, (1) を元に拡張することを考える
gの十1 から gpc填2 を作り出すため, gp十1のggをo5, 5をcに置換すると gp5・c二1> oe
両辺に 1 を加えると gpc十2>og0十c十1 KK KN /
どうしても紛らわしいと思うならば, qpc = 4c などと一旦置き換えて考えればよい.
4c二1>4十cより gpc二1>g5十c、これの両辺に 1 を足して gc十2> gp十c十1 である
さらに., 右辺の o5 十 1 の部分に再び (1) の不等式を適用 すると目的の不等式が導かれる
このように, 不等式を拡張するとき, 2 段階で元の不等式を利用する ことが多い.
さて, 既存の不等式を利用するとき,、 その前提条件を満たすか否かの確認を要する.
gの1>og十5は、 gl| < 1, |5| < 1 のとき に成り 0
よって, eg一g5 5つcとして (1) の不等式を利用するには, lep| < 1 lcl < 1 が前提 となる.
le| < 1, |5| < 1 の辺々を掛けると|gp| < 1 となるこ とか ら, (1) の不等式を利用できる
