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C
00000
基本例題110 最大公約数・最小公倍数と数の決定 (1)
次の条件を満たす2つの自然数α, bの組をすべて求めよ。 ただし, a<bとする。
(1) 和が192, 最大公約数が16
(2) 積が 375, 最小公倍数が75
指針 2つの自然数α b の最大公約数をg, 最小公倍数を1とし,
a=ga', b=gb' とすると
' と'は互いに素 21=ga'b'
3 ab=gl
が成り立つ (最大公約数と最小公倍数の性質)。 これを利用する。
(1) 条件から a=16α′', b=166' (a'<b') とすると, 1 より α', ' は互いに素な自然数と
解答
(1) 最大公約数が16であるから,α, b は
ga=16a', b=166′と表される。
ただし,α','は互いに素な自然数でα'<b'
和が192 であるから
16α'+166′=192
なる。 和の条件を利用してα'+b' の値を求め,
(2) まず3を利用して最大公約数g を求める。 次に, α=●α', b=b
公約数)として、 2によりα'b' の値を求める。 (1) 同様, 1 にも注意する。
CHART 数の積=最大公約数×最小公倍数
に注意してα'′,6′' の組を求める
すなわち
a'+b'=12.....
① を満たす, 互いに素である自然数 α', b' (α' <b') の組は
したがって
<b's
α'
(a', b')=(1, 11), (5, 7)
したがって
(a, b)=(16, 176), (80, 112) e
(2) 最大公約数をg とすると, 積が 375, 最小公倍数が75 であ
るから 375g・75
g=5
α'b' =15
20
よって, α=5d', b=56' と表される。
ただし,α, B'は互いに素な自然数で
ここで, 75=5α'b' が成り立つから
(2)
② を満たす,互いに素である自然数 α', b' (a'′ <b') の組は
(a', b')=(1, 15), (3, 5)
(a,b)=(5,75), (15,25)
p.476 基本事項(
自然数a,bの表現
a=ga', b=gb
(a,b は互いに素
←ab=gl
基本例題
次の(A), (B
a<b<cと
(A)
●は求めた最大
BAN
1 を利用｡a<bからα<b
となる。
ab=gl (3)
①の右辺 12 に注目すると、
α′ が偶数の場合は不適。
a=16a', b=166'
1を利用。
l=ga'b' (2)
#A
a=5a', b=5b'
(B)
小
(C)
指針 前へ
2
a,
ろと
a
bas1-08
102-E-S-48
ag, b-gb&RE
練習
次の条件を満たす2つの自然数a, b の組をすべて求めよ。 ただし, a <bとする。
②
110 (1) 和が175, 最大公約数が35
(2) 積が 384, 最大公約数が 8
(3) 最大公約数が 8, 最小公倍数が240
(A)
解答
(B)の前
ただし
60 8806001
[(3) 大阪経大] (p.484 EX78
角
(B)の
これ
ゆえ
(A) 7
また
[1]
D
