例題 22 無限等比数列の収束条件
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数列{(16)^}が収束する。
思考プロセス
(1) 実数xのとり得る値の範囲を求めよ。
(2)この数列の極限値を求めよ。
(1)条件の言い換え
1← この場合を忘れない。
<?<?
数列{6}が収束-1
x
x²-6
(2)
場合に分ける
の条件
数列{r}が収束するとき
□ のとき r"
1のとき”0
Action» {r"} が収束する条件は,-1<r≦1とせよ
解 (1) x-6≠0 であるから x = ±√√6
数列
{(6)"}
{( 6 ) *}が収束するから
x
-1-
1
x²-6
2 数列の極限
x-6の正負が分からな
いから、(6)(0)
掛ける。
y=(x+√6)(x-√6)(x+3)(x-2)
- (x² -6)² < x(x² -6) ≤ (x² -6)²
「まず,-(x2-6)<x(x2-6)について
変形すると (x2-6)(x²+x-6) > 0
すなわち
これを満たすxの値の範囲は
(x+√6)(x-√6)(x+3)(x-2)>0
x <-3, -√6 <x<2,√6 <x
次に,x(x2-6)(x26)2について
変形すると
②
-3
(x2-6) (x2-x-6)≧0
すなわち (x+√6)(x-√6)(x+2)(x-3)≧0
①より,これを満たすxの値の範囲は
x<-√6, -2≦x<√6,3≦x
② ③ より 求めるxのとり得る値の範囲は
x <-3, -2≦x<2,3≦x
(3
-√6 2
√6
x
y=(x+√6)(x-√6)(x+2)(x-3)
-√62√√6
① より x ≠ ±√6
3x
