合出
系の
の向
の
向
116
三角比, ベクトルを中心にして
58 三角比の基本公式
mは正の数とする. 三角形 ABC において, AB=4, AC=m+1,
BC=m+3 とし、三角形ABCの外接円の半径をR,内接円の半径を
する、
(1)=5のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。
(2) =√2 となるようなm の値を求めよ.
(3)
T
R となるようなmの値を求めよ。
3
(解答
>0において
(大阪教育)
一辺の長さに文字が含まれているので、
形の成立条件」を確認している。
3辺の長さがα, b, cであるとき、三角
(3)
(m+3)-(m+1)<4<(m+3)+(m+1)
が成立するための条件は、
すなわち、
\b-cl<a<bte
2<4<2m+4
である. これは
はつねに成り立つ、
(1)1=122 (a+b+c)=m+4 とすると,
S=√1 (1-a) (1-b) (L-c)
a<b+c
以下, a=m+3,b=m+1,c=4 とする.
=√(m+4)・1・3・m
=5を代入すると
S=√9・1・3・5=3√15
b<c+α すなわち
c<a+b
をまとめたものである.
a<bte
b-c<a
c-b<a
これを満たしていないと三角形は作れない
たとえば, 3, 5, 10 を3辺とする三角形は
れない (10<3+5は成り立っていない)
<別解: ヘロンの公式を使わなくても容易に解ける>
m=5のとき, a=8, b=6,c=4である. 余弦定理より、
_6242-82
cos A=- 2.6.4-1
4
0° <A<180° より, sinA>0であるから,
sinA=v1-cos?A=√1- 16
よって、
3
10
A
4=c,
_m+1=6
1 √15
4
B
m+3
8
S=1/23besinA=12.6.4.15-
-=3v15
(2) 三角形ABCの面積Sは,内接円の半径と(1)のを用いて,
S=11½ r(a+b+c) =rl
(1)で,l=1/2(a+b+c)と定めている
と表される (1) より, S=√3m(m+4), l=m+4であるから,
v3m(m+4)=v2(m+4)
3m(m+4)=2(m+4)2
S=rlに代入した
3m=2(m+4)
∴.m=8
