矢印で指したところって勝手にtをxに入れ替えちゃっていいんですか？

重要 例題 237 定積分と漸化式 (2) nを0以上の整数として,Imm = for sin" x cos" xdx とする。 m, 次の等式を証明せよ。ただし, sin"x=cos"x=1である。 (1) Im.n=In.m (2) Im.n=- n-1 解答 よって (1) sin (1) x=- xtの対応は右のようになる。 練習 237 =tとおくと dx=-dt ゆえに sin 2 −x=cosx, cos z −x)=s (2) n≧2のとき Ssin"x cos" xdx=f(sin" x cosx)cos" 190 sin"+¹x cos"¯¹x __ x=tとおき換えて計算し、後で変数をxに直す。 (2) sin" xcosx=(sin" xcosx) cos"-'xとして部分積分法を用いる。.… , sin+2x cos2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x S A. ①②から したがって sin (1) St Im.n=sin" x cos" x dx =S₁ sin"( 7 —t)cos"( 7 −t)·(−1)dt=S," sin"x cos™ xdx=In.m m+1 ¹x cos' m+1 Im,n= m+1 -1x ** Ssin+2 x cos"-²x dx=Ssin" x cos"-²x(1-cos²x) dx sin sinx cos³x dx m+n Im.n-2 (n=2) + n-1 m+n =sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 P.390 基本事項 ②. 重要 218,236 m+n t -Im.n-2 +45 上の例題の等式を利用して,次の定積分を求めよ。 0-> m+1 xdx= [(in)cos xdx m+1 Ssin" x cos xdx= sinm+¹xcos"-1x n-1 + m+n sin" x cos"-2x dx m+n. m+1 | sin"xcos®xdx=[sin"#harcox ] + màn sinh xoot xoa 2 n-1 c cos2xdx Jo 345Bons. n-1 π 2 sin"+¹x.(n-1) cos™-²x(−sinx)dx__ m+1 n-1Ssi m+1. 7/ -Ssinxcos-xdx-Ssin" x cos" xdx ( ) = (2) - (x →0 sin ²xcos"-2x dx...... (2) S. ² sinxcos’xdx S 2 + x(x) ²7 395 BES p.398 EX195 7章 3 定積分の置換積分法・部分積分法 34 1231

酸塩基の問題です。 オレンジのところで もし価数が二価だったりした場合はどのように式が変わるか教えて頂きたいです！！ よろしくお願いします🙇‍♂️

155 0.036 mol/Lの酢酸水溶液のpHは3.0であった。 次の問い (ab) に答えよ。 (2008) a この酢酸水溶液10.0mL を, 水酸化ナトリウム水溶液で中和滴定したところ, 18.0mLを要した。 用いた水酸化ナトリウム水溶液の濃度は何mol/Lか。 最も適当 なものを、次の①~⑤のうちから一つ選べ。 ① 0.010mol/L ② 0.020 mol/L (4) 0,065 mol/L ⑤ 0.130mol/L 3 0.040 mol/L b この酢酸水溶液中の酢酸の電離度として最も適当な数値を、次の①~⑤のうち から一つ選べ。 ① 1.0 × 10-6 (4) 3.6 x 10-2 (2) 1.0 x 10-3 5 3.6 x 10-1 ③ 2.8×10-2

⑵の質問です dtをどのように求めているのですか？

基本 例題228 定積分の置換積分法 (1) ・・・ 丸ごと置換 次の定積分を求めよ。 •4 x S₁ √5-x dx ③ t の定積分として計算する。 15-x=t とおくと,x=5-f2から dx=-2tdt xtの対応は右のようになる。 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 dx dt •4 を求める(または dx = dt の形に書き表す)。 の式の一部をとおき, す 石のようにょ (1) √5x=t, (2) 1+sin'x=t とおく(丸ごと置換)。 よって Sixd √√5-x S₁5²dx=S₁5-1²-(-21)dt Ⓒ 【このことは置換積分法を用いて不定積分を求めるとき(p.359) とまったく同様。] ② xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。 (1) なら,xが1から4に変化するとき,tは2から1に変化 する。この対応は、右のように表すとよい。 (2) 1+sin'x=t とおくと (2) =2 2sinxcosxdx=dt←? とその対応は右のようになる。 TL よって sinxcosx S& 1+sin'x 別与式)= = 25, (5-1²)dt =2[5t-1₁ -2|(10-)-(-)-1 1+sin2x B= p.380 基本事項 ① 基本 213 sinxcosx x = 1²₁²/17 • ²2 dx=1 1+sin²x 01 =12110gt=212(10g2-1)=1/12/10g2 -dt 3 ラーメニムとおくと、分数・ートが面倒…. t log2 -dx 1 → 4 2→1 = 16 3 GROO 2 π x 0 → Ⓡ - S ² = S²₁ 2 t → 2 重要 232,233 C 0≤x≤ (0) 加。 = 1. (1+sin'x)dx=12/10g(1+sin'x) | = 1/log2 *)=√( ²/1/1/1 . 20 2 x t 1 → 4 2→1 4 ( t は単調減少) Ax=g(t) で, a=g(x), b=g(β) のとき Sof(x)dx=Sf(g(t))g(t)dt -t=√5-x x≦2のとき, 5 x inx (20) は単調増加。 =1+sinåx も単調増 (分母の形。 (分母) 381 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

(3)の答えの蛍光ペンで引いたn−3どのようにして出てくるんですか？お願いします。

基礎問 194 第7章 数 127 和と一般項 数列{an}の初項から第n項までの和Snが Sn=-6+2n-an (n≧1) で表されている. (1) 初項 α1 を求めよ. (2) an と an+1 のみたす関係式を求めよ. (3) an をnで表せ. 精講 数列{an}があって, a+az+...+an=Sn とおいたとき, anとS” がまざった漸化式がでてくることがありま す. このときには次の2つの方針があります. I. α の漸化式にして, an をnで表す ⅡI. S の漸化式にして, Snをnで表し, an をnで表す このとき,I,ⅡI どちらの場合でも次の公式が使われます. n≧2のとき, an=Sn-Sn-1, a1=S1 (n=1のときが別扱いになっている点に注意) 解答 Sn=-6+2n-an (n ≧1) ...... ① (1) ① に n=1 を代入して Si=-6+2-a1 α = S1 だから, a=-6+2-a, 2a1=-4 a=-2 (2) n≧2のとき,①より, Sn-1=-6+2(n-1)-an-1 Sn-1=2n-8-an-1 ①② より, Sn-Sn-1=2-an+an-1 an=2-an+an-1 AS₁-S₁-1-a

四角で囲った部分がよく分からないので教えてほしいです！

(1) 15xs/it と異なる結果 tan 6 18 0= To ないからで､この 応は誤りである。 x = atandについ (1) ri すると 分解する。 FA として分する 基本例題 231 偶関数,奇関数の定積分 次の定積分を求めよ。 (1) ではaは定数とする。 (1) ²√a²+x² 解答 (1) f(x)=√a²+x² x³ √²+x² f(-x) == よって, -dx 指針 定積分の計算は、偶関数・奇関数に分けて考える。① Sof(x)dx=2Sf(x)dx 関数 f(x)=f(x) (y軸対称) 奇関数 f(-x)=-f(x) (原点対称) S° f(x)dx=0 CHART S゜の扱い 偶関数は 2 , 奇関数は 0 したがって ここで よって とすると (-x)³ √a²+(-x)² 5²₁ S -a 関数であるから ARCH X(2) S(2sinx+cosx)dx エー J √a²+x² x3 ²√√a²+x² (2) (2sinx+cosx) |— qua =8sin3x+12sinxcosx+6sinxcosx+cos3x -dx=0 -= -f(x) sinx は奇関数 COS x は偶関数であるから, sin x は奇数 sin' x cos x は偶関数 sin x cos' x は奇関数 COS' x は偶関数。 π (与式)=2(12sin'xcosx+cosx)dx 12sin'xcosx+cosx=(12sin²x+cos'x) cosx =(12sinx+1−sin’x)cosx =(11 sin²x+1) cos x (与式)=2 (11sin x+1)(sinx)'dx -sin®x+sing] =211/2 sin = 28 3 nias 2 p.380 基本事項 ② 練習 次の定積分を求めよ。 (2) では qは定数とする。 ②231 (1) S(2sint+3cost)'dt (3) S (cosx+ x sinx)dx ←計算不要。 +³ (a>0) ya O 積分区間 が半分。 kin SCORD (2) S²₂x√√a²-x² dx a 被積分関数が奇関数である ことがわかれば, 積分を計 算する必要はない。 x 奇数×奇関数=偶関数 奇関数×偶関数 = 奇関数 偶関数×偶関数=偶関数 公式を用いて次数を下げて もよいが,この問題では f(■)の発見の方針で 進めた方が早い。 20 sinx=uとおくと cosxdx = du 左の定積分 は25%(11²+1)du 35 7章 4定積分の置換積分法・部分積分法 34

私はcosxをtと置いてやったのですが、答えが合いません。他のもので置換したら出来ないのですか？

→ b →B 2 基本例題228 定積分の置換積分法 (1) ・ 丸ごと置換 次の定積分を求めよ。 (1) S₁ -√√5 - x Sixd 指針▷ 1 XC その式の一部をtとおき, 練習 ②228 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 dx ③3 t の定積分として計算する。 解答 (1) √5-x=t とおくと, x = 5-f2から dx=-2tdtの解答と xとtの対応は右のようになる。 よって (1) √5x=t, (2) 1+sin'x=t とおく(丸ごと置換)。 [このことは置換積分法を用いて不定積分を求めるとき (p.359) とまったく同様。] xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。・・・・・・・ 2 (1) なら、 xが1から4に変化するときは2から1に変化 する。この対応は、 右のように表すとよい。 S₁-√5-x dx=5²5-7² Sin³x = (4) 1-cosza 2 (2) 1+sin²x=tとおくと 2sinxcosxdx=dt ① x とtの対応は右のようになる。 よって = 2sinxcosx Jo 1+sin'x 515-1². (-2t)dt Ⓒ t *(2) = 2S (5-1)dt =2[51-]₁ を求める(または dx = dt の形に書き表す)。 dt 20 16 -2{(10-)-(5-))- 1350 別解(与式) (4x)=S² / 1+sin²x 0 2 211 -dx = S₁²₁ / ₁°*" 2 次の定積分を求めよ。 Sixv2xưa //COS sinxcosx Jo 1+sinx p.380 基本事項 ①. 基本 213 de -/12/110gt-1/12 (10g2-1)-1/2/10g2 = log2 -dt (5) XC 1 → 4 t 2→1 3 log2π logπ π 2 t 1→ 2 x 0 → -dx (2) So (2-x)²) adx (1+sin'x)dx=1/{log(1+sin'x)} -/12log2 = ex sine* dx t4 0 重要 232,233 √5 Ⓒ-S-S² 加。 x 1 → 4 t 2→1 (tは単調減少) A x=g(t) で, a=g(α), b=g(B) のとき S's(x)dx=$'s(g(x))g' (t)dt -t=√5-x (3) Searne 4 5 x x とき sinx (0) は単調増加。 =1+in'xも単調増 381 (分母) (分母) sin³0 de の形｡ [(5) 宮崎大] 7章 34 ess 定積分の置換積分法・部分積分法

数Ⅲの積分法です。 （2）の問題がわかりません。解説の最初の一行目がしっくりきません。 数学苦手なので得意な方教えていただきたいです。よろしくお願いします🤲

408 第7章 積分法 例題 214 考え方 部分分数に分解してから積分する. (1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より, - 2 練習 部分分数に分解する 次の不定積分を求めよ. 2 (1) Sy² + ₁²x + 3 dx 4x 214 2 x²+4x+3 (2) として, α, bの値を求める. (2) 分解する形に注意しよう. 1 x²(x-1) L 解答 Cは積分定数とする. とおくと, a +6 (x+1)(x+3)¯x+1+x+3=1 / ₂² a b 1 x²(x-1) (1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より, 2 b + x+3 とおくと, + + x² 1 x²(x-1) (x+1)(x+3)x+1 =log したがって C x-1 a b × ² ² + 0 ₁ ) ) — x-1 a x+1 x+3 RETO (d+xo) したがって a=1, b=-1 2 2 *₂²₁ √x² + ²x + 3 dx = S(x + 1} (x + 3) dx よって, S 4x = S(x+1=x+3)dx 10***TOX (2) S x²(x-1) 2= a (x+3)+b(x+1)+(x-1) +C 次の不定積分を求めよ. x-1 (1) -dx x²+3x+2 部分分数に分解 467 BR C x-1 a b = + + x x² 1= ax(x-1)+b(x-1)+cx² a=-1, b=-1, c=1 *₂t, S₁x²(x²-1)dx= √(- =— — — — — — + _ _ —-—-—- ) d x よって,xx-1)=(1/ 1 2 x² x-1 ==+log|¹|+C x-1 +] 08 Sdx=log|x|+C M =log|x+1|-log|x+3+C)log M-log N=log N [(x)+ g(x)] da =xb (d+x)/(x(x) dx + √√(=) dr *l+C xについての恒等式を解く. 1=ax(x-1)+b(x−1) +cx² (a+c)x²+(-a+b)x =−log|x|+=+log|x−1|+C x dx 1 2T___X²Y=X+X²+ = ** EIS b X Y = + 1/2 1 a XY X Y 1 a b Xyz = x + 1/ XYZ X Y a b dr S dx (2) √√x (x + ₁)(x+2) + xについての恒等式を解く. 2= a (x+3)+b(x+1) (a+b)x+(3a+b-2)=0 したがって, a+b=0 3a+b-2-0 これより, α=1,b=-1 -(6+1)=0 dx Leb, a+c=0, -a+b=0, b+1=0 これより, a=-1, b=-1, c=1 |Sdx=log|x|+C dx (3) √x(x + 1)²² p. 411

２番です、(α,β)=(-2,1)のときは(３枚目のように)上手くいかないから(α,β)=(1,-2)で計算しているのですか？ またbnが求まったらなぜ3枚目のように計算できるのですか？

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α) an=8-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-₁ 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③

２番です、丸と四角で囲ったところはなぜこのように表せるのですか？

基礎問 190 第7章 数 列 125 2 項間の漸化式 (IV) α=0, an+1=2an+(-1)”+1 (n ≧1) で定義される数列{an}が ある. an (1) bn= とおくとき, bn+1 を on で表せ. 2" (2) bn を求めよ. (3) an を求めよ. an+1=pan+gn+1 (p=1, g≠1) 型の漸化式の解き方には、次の2 精講 通りがあります。 Ⅰ. 両辺を " +1 でわり, 階差数列にもちこむ (124 ポイント) ⅡI. 両辺を g”+1 でわり, bn+1=rbn+s型にもちこむ この問題ではIを要求していますから、 ます. an+1=2an+(-1)n+1 ・① (1) ① の両辺を27 +1 でわると, - + (-²/2 ) 1 an+1 an 22+1 2" an n=6m 22 = b とおくとき (2) n≧2のとき, n+1 ⒸKY ba+i=b₂+ (-1/2) ²*² bn=b₁+ \k+1 ₁ + 2/(- 12) *** k = 1 n+1 =0+ 1----1/72 解答 n-1 an+1 2n+1=bn+1 と表せるので IIによる解法を示しておき = 1+1/1/12 これは,n=1のときも含む. 1/12(-1/2)} 1①に, an=2"bn, an+1=2n+16+1 を 代入してもよい |121 階差数列 118 初項 1.公比1/ 項数n-1の 等比数列の和 【吟味を忘れずに

赤下線部は公式のようなものですか？ なぜこのように表せるのですか？

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α)a=B-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-1 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③