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重要 例題 96 放物
放物線 y=-x2+αと円x2+y²=16 について,次のものを求め
1
(1) この放物線と円が接するときの定数aの値
(2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲の円
要
立
CHARTO SOLUTION
放物線と円
解答
(1) y=x²+a ³5 x²=4(y-a)
から
ただし, x2≧0であるから
y≧a
②
①をx2+y²=16 に代入して
4(y-a)+y2=16
よって y2+4y-4a-16=0.③
[1] 放物線と円が2点で接する場合
共有点実数解 接点 重解・・･･・･
この問題では、xを消去して, yの2次方程式
4(y-a)+y²=16 の実数解, 重解を考える。
なお、放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線
をもつときで、この問題の場合、 右の図から, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
2次方程式③は重解をもつ。
③の判別式をDとすると
man
・①
よって 求める定数αの値の範囲は
10 A
yoFLA
D=22-(-4a-16)=4a+20
放物線y=x2 円
MOITUIO
4
0
a=-4
市の
4
D = 0 から a=-5
このとき、③の重解はy=-2 であるから②に適する。
[2] 放物線と円が1点で接する場合
18
JJS =
を求め
5
-50 a=-58-0 x²+|-
整理して
x²(x
この4次
HAF
a=±4
x=0を
で接して
同様に,
図から,点(0, 4), (0, -4) で接する場合で
について
[1], [2] から 求めるαの値は
a=±4, -5
と入
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から、放物
x4.
線の頂点が,点(0, -5) と点 (0, -4) を結ぶ線分上(端点を すなわ
除く)にあるときである。
から,
- 5 <a<-4
をもつ
(24)を中心とする円が内接して
inf. a=40
2+4y-32
すなわち(y
から,y=4
で重解をもた
しかし, y:
x
連立方程式
ると
