Question

は

図の赤色の方程式の求め方なのですが、共通点(接してますが)が2個あるのに、判別式Dで求められるのは何故ですか？？

ME
EN AUGE
重要 例題 96 放物
放物線 y=-x2+αと円x2+y²=16 について,次のものを求め
1
(1) この放物線と円が接するときの定数aの値
(2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲の円
要
立
CHARTO SOLUTION
放物線と円
解答
(1) y=x²+a ³5 x²=4(y-a)
から
ただし, x2≧0であるから
y≧a
②
①をx2+y²=16 に代入して
4(y-a)+y2=16
よって y2+4y-4a-16=0.③
[1] 放物線と円が2点で接する場合
共有点実数解 接点 重解・・･･・･
この問題では、xを消去して, yの2次方程式
4(y-a)+y²=16 の実数解, 重解を考える。
なお、放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線
をもつときで、この問題の場合、 右の図から, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
2次方程式③は重解をもつ。
③の判別式をDとすると
man
・①
よって 求める定数αの値の範囲は
10 A
yoFLA
D=22-(-4a-16)=4a+20
放物線y=x2 円
MOITUIO
4
0
a=-4
市の
4
D = 0 から a=-5
このとき、③の重解はy=-2 であるから②に適する。
[2] 放物線と円が1点で接する場合
18
JJS =
を求め
5
-50 a=-58-0 x²+|-
整理して
x²(x
この4次
HAF
a=±4
x=0を
で接して
同様に,
図から,点(0, 4), (0, -4) で接する場合で
について
[1], [2] から 求めるαの値は
a=±4, -5
と入
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から、放物
x4.
線の頂点が,点(0, -5) と点 (0, -4) を結ぶ線分上(端点を すなわ
除く)にあるときである。
から,
- 5 <a<-4
をもつ
(24)を中心とする円が内接して
inf. a=40
2+4y-32
すなわち(y
から,y=4
で重解をもた
しかし, y:
x
連立方程式
ると

Answer 1

✨ Best Answer ✨

まさ

ザックリいうと、判別式はその式が解をもつのかどうかを判断する式になります。

今回の式でいうと③は放物線と円の連立方程式で作られた式という事に注目して解説をみてみると、
判別式D＞0の時：放物線と円は異なる実数解をもつ
判別式D＝0の時：放物線と円は重解を持つ
判別式D＜0の時：放物線と円は異なる虚数解をもつ
と考える事が出来ます。

最初に判別式を習う
y=ax^2+bx+c という式で考えると重解はxの2次式がy軸と接している場合なので
「重解を持つ時＝接する時（接線を持つ時）」と言い換える事も出来ます。

そして余談ですが、今回の問題でy=-2を最初の放物線か円の式に代入するとx=±√6と解が2個出てくることも分かります。

まさ

＞y=ax^2+bx+c という式で考えると重解はxの2次式がy軸と接している場合なので
ax^2+bx+c=0　で計算するので、y=0の時、接するのはx軸とでした。

は

わかりやすいです、有難う御座います泣

Answer 2

飛鳥

2点で接するとき、③は異なる二つの解を持つので
2次式が異なる二つの実数解を持つ＝判別式が0より大きい

は

ご回答有難う御座います泣
お二人のお陰で理解でしました（ ; ; ）