96 第6章 微分法
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例題 208 条件付きの最大最小
x,y,zはx+y+z=0, x2+x-yz-1=0 を満たす実数とする。
(1) xのとり得る値の範囲を求めよ.
(2) P=x+y' + 2 の最大値, 最小値を求めよ. また, そのときの
の値を求めよ.
考え方 (1) 条件式からy, zを解にもち, xの式を係数にもつ2次方程式を作り, これが実数
解をもつこと (D≧0) を利用する.
(2)をxの式で表し (1) の範囲における最大値・最小値を求める
S
解答 (1) 条件より y+z=-x①
yz=x2+x-1 …②
xyzを実数解にもつ2次方程式の1つは,
t²-(y+z)t+yz=0
mim
であるから ① ② を代入して,
(070
ttxtt(x+x-1)=0 …3)
xが実数であり, ③の解y, zも実数であるから,
D²01
2次方程式 ③の判別式をDとすると、
したがって,
D=x2-4(x+x-1)=-3x²-4x+4
200gias=( 3x−2)(x+2)
より,mie (3x-2)(x+2)≦0
よって,
(2) P=x³+y³+z³
-2≤x≤²/3 ......④
=x2+(y+z)-3yz (y+z)
① ② を代入すると
P=x²+(-x)-3(x+x-1)・(-x)
=3x²+3x2-3x
したがって,Pをxで微分すると
P′=9x²+6x-3
=3(3x²+2x-1)
=3(x+1)(3x-1)
P'=0 とすると, x=-1.
1
3
P'
bead+
P
-2
-6
2数α, βを解とする
2次方程式の1つは、
(t-a)(t-B)=0
より、
+
200 (p.98 参照)
²-(a+β)t+a3=0
-1
0
大3
3
y, z を消去する。
|極大
...
①
より、④におけるPの増減表は右
のようになる.
したがって、x=-1 で最大値 3, x=2で最小値-6
1
3
0
小50
極小
9
+
|2|3|
\x,y,zはx+y+z= -2, x2+4x-2yz-4=0 を満たす実数とする.
18 (1) xのとり得る値の範囲を求めよ.
** (②) P=x²+y+zの最大値、最小値を求めよ.また,そのときのxの
めよ.
