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6 [2016 名古屋大]
を正の整数とし,kを1≦k≦n +2 を満たす整数とする｡ +2枚のカードがあり、 そのうちの1
枚には数字が、他の1枚には数字2が残りの 枚には数字が書かれている。この2枚のカ
ードのうちから無作為に友枚のカードを取り出すとする。
(1) 取り出した4枚のカードに書かれているすべての数字の積が1以上になる確率を求めよ。
(2) 取り出した4枚のカードに書かれているすべての数字の積が2となる確率Q(k) を求めよ。
(3)与えられたに対して、確率Q (k) が最大となるkの値と,その最大値を求めよ。
n+2枚のカードをすべて区別して考える。
カードの取り出し方は... C, 通りあり,これらは同様に確からしい。
①k=n+2のとき、取り出したカードに0が含まれるから、数字の積は0になる。
よって、数字の積が1以上になる確率は 0
②1≦k≦n+1のとき, 数字の積が1以上になるのは、0以外のn+1枚のカードから
枚を取り出すときである。 よって, 数字の積が1以上になる確率は
(n+1)!
×
k!(n+1-k)!
Q₁(k)= » Cr-1.
円+2C
k=n+2 のとき,
(2) k="+2のとき, 数字の積は0であるから
Q(k) = 0
1≦k≦〃 +1のとき, 数字の積が2となるのは、2のカードとk-1 枚の1のカードを取り出す
場合であり, その確率は
k=n+2 のとき,
+2-k
#1+2
最大値・
(+2)²
4
Jn+1
k!(n+2-k)! n+2 -k
(n+2)!
+2
kn+2-k)=-2+(n+2)=-
[2]”が奇数のとき
-=0が成り立つから, 求める確率は
k(n +2-k)
(n+1)(n+2)
(3) (2)から,Q(k) が最大となるのは, kn+2-k) が最大となるときである。
n!
(k-1)!(n-k+1)! (n + 2)!
X
[1] [2] から Q(k) は
k!(n+2-k)! kn+2-k)
(n+1)+2)
k(n+2-k)
- 0 が成り立つから, 求める確率は Q₁(k)= (2+1)n +2) 30807
[1] 〃が偶数のとき
²004-00/4/4
22 +1は整数であり, 1+1/+2であるから, kn+2-k)はk=1+1でanks
18 225
(2+2)²
をとる。 よって, Qa(k) の最大値は
hty
kn+2-k)はk=m+1.13 で最大値
よって, Q,(k) の最大値は
+1 +
+2k
#+2
(n+1)+3)
4
(n + 2)²
4
n+3
11.13 は整数であり,1Smiff +1 -n+2であるから,
n+3
4
Ang="+2
(n+1n+2) 4(n+1)
1+A1-QURUKA
1 (n + 2)² (n+1)n+3)
+
4
1
(+11+2)
n+3
4(月+2)
n+2
が偶数のとき,k=2+1 で最大値・ 4月+1)
:
をとる。
が奇数のとき,k=1,13 で最大値
+3
月 +3
・4月+2)
をとる。
