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例題 211
実数解の個数 ( 2 )
小学式
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3次方程式 -3ax+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定
数αの値の範囲を求めよ.
考え方 例題 210(p.400) のように定数を分離しにくい。 このような場合は,次のように3次関
数のグラフとx軸の位置関係を考える。
3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ
M
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わる
3次関数においては
y=f(x)
(極大値)>0 かつ (極小値) <0
⇔ (極大値) × ( 極小値) < 0
(極大値)> (極小値)
解答
f(x)=x-3ax+4a とおくと,
A
f'(x)=3x²-3a=3(x+a)(x-a)
f(a)f(B)<0
...①
方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、f(x) が極値をもつ
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること,
つまり、
( 極大値) × (極小値) <0
となることである.
(i) ①より、f'(x)=0 のとき,
x=-a, a
⇔f'(x)=0が異なる
2つの実数解をもつ
⇔f'(x)=0 の
(判別式) > 0
a>0 のとき,
x
- a
増減表は右のよう
f'(x) +
20
80
a
(p.382 参照)
+
になる.
f(x)
極大 極小
直接,増減表を書いて
極値を調べたが,
a0 のとき,
X
a
- a
f'(x)=0 の判別式を
増減表は右のよう
になる.
f'(x) +) 0
f(x)
a=0 のとき,f(x)=x3 より
x=0 (3重解)となり不適
これより,
よって、 求めるαの値の範囲は,
a<-√ √2<a
Focus
(ii) f(-a)xf(a)=(2a3+4a)(-2a3+4a)
=-4a²(a²+2)(a²-2)<0
(i)より, a≠0 であるから,d>0, a'+2>0 より
a²-20 (a+√2) (a-√2)>0
a<-√2√2<a
使ってもよい。
判別式をDとすると,
D=-4-3(-3a)
り
=36a²>0
a<0, 0<a
(a=0)
となる.
0 +
極大
極小
f(x)=0の解は
3次方程式f(x)= 0 が異なる3つの実数解をもつ
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わる
(極大値)>0かつ (極小値) <0
(極大値) X (極小値) <0
注〉例題211 で, (i) f(x)が極値をもつ,
() (極大値) × (極小値) <0 のいずれかを
満たさないときは、右の図のようにx軸
(極値をもたない)f(a)f(3)0
3点で変わらない.
重要である.
a
