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Science Junior High

(1)、なぜこうなるんですか?

2音の速さ 拓也さんと博樹さんは,音が光と同様に反射する性質を利用し, 音の速さを調べる実験を行った。 図1のように, 校舎の壁から10.0m離れたA地点 にマイクロホンを置き, コンピュータに接続した。 次に, A地点からさらに2.0m 離れたB地点で博樹さんが1回手をたたき 拓也さんがA地点での音の波形を記録 した。このとき,A,B地点は校舎の壁に垂直な同一直線上にあり、風はなかった。 図2は, A地点で記録した波形を示したもので、a は最大の振幅を,bは手をたた いた直接の音と校舎の壁で反射した音の時間の間隔を示したものである。 熊本 [L] 図 1 図2 拓也さん コンピュータ マイクロホン 博樹さん 2.0m -A地点 B地点 10.0m 校舎の壁 a K b (1) 図2について, bの時間の間隔は0.0580秒であった。 結果から推測される音の 速さは何m/sか。 小数第1位を四捨五入して答えなさい。 m/s m/s (2)図1について、手をたたく音を大きくして同様の実験を行うと、最大の振幅は 図2のaと比べて① (ア 大きくなる イ小さくなる ウ 変わらない)。 また,図1のマイクロホンを, A地点から校舎に向かって5.0m近づけて同様の 実験を行うと,手をたたいた直接の音と校舎の壁で反射した音の時間の間隔は, 図2のbと比べて② (ア 大きくなる イ 小さくなる ウ 変わらない)。 ① ② の の中からそれぞれ正しいものを1つずつ選び,記号で答えなさ IN 光源装置 スクリーン 音が22.0m進むと 壁に反射してマイク ロホンに届くね。 に答え 【実験 〈方法 1 高 体 2 B けて 保ち こ ねは 〈結果〉 表は めたも 表 水面 【話し合 太郎さ 花子さん 太郎さん (1) 物体A

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Mathematics Senior High

−1〜1の直線回転体引く、−1〜0の放物線回転体プラス、1〜2の放物線(X軸対称)だと答え違くなるんですか?

転 転体の体積(2) A 放物線y=x²-2.x と直線y=-x+2 で囲まれた部分をx軸の周りに1回 転してできる立体の体積を求めよ。 OLUTIONR CHART 回転体では図形を回転軸の一方に集結 回転体の体積 まず、放物線y=x²-2x と直線 V= くよ 2x=-x+2 とすると, x2-x-2=0 からx=-1, 2 放物線y=x2-2x のx軸より下側の部分を,x軸に関して対称 に折り返すと右の図のようになり,題意の回転体の体積は,図の 赤い部分をx軸の周りに1回転すると得られる。このとき,折り 返してできる放物線 y=-x2+2x と直線y=-x+2 の交点の x座標は, x2+2x=-x+2 を解いて x=1,2 よって y=-x+2 をかくと〔図1] のようにな る。ここで、放物線と直線で囲まれた 部分はx軸をまたいでおり,これを x 軸の周りに1回転してできる立体は、 [図2]の赤色または青色の部分をx軸 の周りに1回転してできる立体と同じ ものになる。 基本例題238 と異なり,この場合は [図1] x軸の下側(または上側) の部分をx軸に関して対称に折り返した図形を合わせ て考える必要があることに注意! ! SHAR v=xS_₂{(x+2)²-(x²-2x)²} dx + x^(-: +7S²(-x²+2x)³dx = +π 541 =zS°,(-x*+4x-3x²-4x+4)dx+rf(x-2)dx + x²(x² −4x³+4x²) dx =₁[ =x[_x³ + x²−x³−2x²+4x]°¸ + x[(x−2²] x5 x²+. 8 15 7 19 π+ 5 + π 3 y y=x²-2x| --3 4017 UTO 12 y=-x+2 π= -1 0 100 15 +πS(-x+2)2dx 20 = T 3 201 基本 238 y y=x²-2x/ 1- y=-x+2 2 -1 0 1 U ²+2r [図2] 0-6 Jel ・次の3つの図形に分け て体積を計算する。 ------- + ONS-T 113

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Mathematics Senior High

このマーカーで引いたところって、Q中心の半径1の円で-2t分回転させたからこのような座標隣っているのですか?

重要 例題 287 曲線の長さ (2) 円C:x+y2=9の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。時刻 t において D は点 (3cost, 3sint) でCに接している。 (1) 時刻 t=0 において点 (3,0)にあったD上の点Pの時刻t における座標 (x(t),y(t)) を求めよ。ただし, 0≦t≦πとする。 2 X(2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 [類 早稲田大〕 基本286 指針 (1) ベクトルを利用。 PはDの円周上にあり, Dの中心Qとともに動く。 そこで OP=OQ+QP (Oは原点)として, QP をもの式で表す。 Q, 毎日 円x2+y2=2(x>0)の周上の点Pの座標は (rcost, rsint) で表され,このとき OP がx軸の正の方向となす角はtである。 dx (2) p.465 基本事項 ① S. √ (d) + (a)* dy Ja V dt dt 解答 (1) A(3, 0), T(3 cost, 3sint) 3. 00107: DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は (2cost, 2sint) である。 また, TP=TA=3tである から,x軸の正の方向から半直線 QP への角は t-3t=-2t よって 0を原点とすると OP=OQ+QP introst ( = 16 sin²³-t 2 dt の公式を利用。 (2cost2sint)+(cos(2t), sin(-2t))ヶ =(2cost+cos2t, 2sint-sin2t) (2) x(t)=-2sint-2sin2t, y' (t)=2cost-2cos2t から {x' (t)}²+{y'(t)}²=4(sin²t+2 sintsin2t+sin²2t)=1 +4(cos²t-2 cost cos 2t+ cos²2t) =4(2-2cos3t)=8 (1-cos3t) よって、求める曲線の長さは 3 3 St / 16sin222tdt = S." asin 2/2 tdt 10 大 0905 YA 3 C D St 3 = =4・ -4. [-cos/211³-¹6) ・COS ・土 3 2 0 $3+$1 Q 3t 0≤t≤ 2012/2πであるから sin ²01² 3 T(3cost, 3sint) (0²2) 5 (1) ²2=(²²+²²= < sin20+ cos20=1, costcos 2t-sintsin2t =cos(t+2t) 半角の公式により -2t3 AX T 2004: 点Pの描く曲線はハイポ サイクロイドである(p.137 でα=3、b=1の場合)。 1-cos 3t =sin²t 2 RCK TO 100 4467 ◄S³* √ {x' (t)}²³+ {y'(t)}² dt 練習 a>0とする。 長さ2maのひもが一方の端を半径aの円周上の点Aに固定して, ©287 その円に巻きつけてある。このひもを引っ張りながら円からはずしていくとき, ひもの他方の端 P が描く曲線の長さを求めよ。 8章 41 曲線の長さ、速度と道のり 下移動

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