1OROY
m
m
0
0
9(t)
図1 単調和振動子。
復元力 F はF= ーky(t) であるとする.ここでk>0はバネ定数と呼ばれる与
えられた物理量である. ニュートンの法則(カ=質量× 加速度) を適用すると,
ーky(t) =D my" (t)
が得られる。ただしy" という記号でyのtに関する 2階導関数を表すものとす
る。c= Vk/m とおくと, この2階常微分方程式は
g"(t) +c9(t) =D0
となる。方程式(1) の一般解は, a, b を任意定数として
9(t) = a cos ct+bsinct
により与えられる。明らかに, この形の関数はすべて方程式 (1) の解になってい
る。そしてこの形の解のみがこの微分方程式の 2回微分可能な解になっている。
その証明の概略は練習6で述べる。
上述の y(t) を表す式のなかで, cは与えられた定数であるが, a, bはどのよ
うな実数でもかまわない. この方程式の特別な解を決める場合, 二つの未知定数
a, b を考慮に入れた二つの初期条件を課さねばならない. たとえば物体の最初の
位置 y(0) と初期速度 y/'(0) が与えられれば, 物理的な問題の解は一意的となり,
y(0)
sin ct
9(t) = y(0) cos ct +
C
により与えられる. 容易にわかることであるが, ある定数 A>0と φERで,
a cos ct + bsin ct = Acos (ct - 4)
をみたすものが存在する. 上に述べた物理的な解釈に基づいて, A= Va? +6?
をこの運動の「振幅」
cを「固有振動数」
(aを「位相| (これは ?Tの整数倍
