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(イ)「4=●(mod5)かつ ● が3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。
は m の倍数である、
(1) p.492 基本事項の合同式の性質 2, および次の性質5を証明せよ。ただし、
(2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法 m において, x=a(mod m) la t
加法·減法·乗法だけなら普通の数と同じように扱える
494
OO000
演習
合同で
演習 例題121 合同式の性質の証明と利用
は整数,m は自然数とする。
5aとm が互いに素のとき
mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということ。
(ア) x+4=2(mod 6)
(イ) 3x=4(mod 5)
指針に
p.492 基本事項
指針> (1) 方針はか、493 の「証明と同様。
=■(mod m) のとき,
合同式
解答
(1) 2 条件から, a-b=mk, c-d=ml (k,1は整数)
と表され
AAの倍数
,=Ak (k は整数)
a=b+mk, c=d+ml
よって a-c=(b+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-1)
ゆえに a-c-(6-d)=m(k-1)
5 ax=ay (mod m) ならば, ax-ay=mk (kは整数)と表
され
価会
よって a-c=b-d(mod m)
p, qが互いに素で
a(x-y)=mk
x-y=ml (1は整数)
x=2-4(mod 6)
aとm は互いに素であるから
よって x=y(mod m)
がqの倍数ならば、 k
はqの倍数である。
(2)(ア) 与式から
-2=4(mod 6)であるから
(イ) 4=9 (mod 5) であるから,与式は
法5と3は互いに素であるから
9=4Chods)
4性質 2。移項の要領。
x=4(mod 6)
3x=9(mod 5)
イ-2-4=-6 (6 の倍数)
また,推移律を利用。
x=3(mod 5)
(性質5を利用。
検討)合同方程式の問題は表を利用すると確実
(2) (イ)については, 次のような 表を利用 する解答も考えられる。
別解 (イ) x=0, 1, 2, 3, 4について, 3xの値は右の表
のようになる。3x=4(mod 5) となるのは, x=3のと
きであるから x=3 (mod5)
注意 合同式の性質5が利用できるのは,「aとmが互いに素」であるときに限られる。
例えば,4x=4 (mod 6) -
①よりx=1 (mod 6) としたら 誤り!
表を利用 の方針で考えると, 右の表からわか
るように x=1, 4(mod6) である。
[x=a(mod m)またはx=b(mod m) を「x=a, b(mod m)」と表す。]
x
0
1
3
4
3x || 0
3
6=1 9=4 12=2
のについては, 4と法6は互いに素ではないから,
5
x
0
1
2
3
4
練習
(1) p.492 基本事項の合同式の世面
2@
