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例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点
形式
(365) C2-1
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複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形
ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ.
考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから
複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である.
四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC
解答
である.
よって、
z-(1-2i)=iz-ス
つまり、
z=(i-1)z+(1-2i)
①の両辺の共役複素数をとると,
_z= (-i-1)z+(1+2i)
ここに①を代入すると,
①
www
D(z)
C(iz)
O
B(z)
(8O+AO)SAA(1-2i)
z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i)
したがって,
0% z=2z-2+3i
z=2-3i
0
th
1=2+b)+(nds) ①
OAO)+(内
(別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC
と BD の中点は一致するから、
A (1-2)+iz
2
た
z+z32. OA
2点α, βを結ぶ線分
(S)(1) A01:1
したがって,
ad
よって,
(1-iz+z=1-2i
の中点は,
a+β
(1-2i)+iz=z+z
2
(p.C2-52 参照)
①の両辺の共役複素数をとると,
(1+i)z+z=1+2i.......②
① ×(1+i) ② より を消去すると,
z=2-3i
Focus
四角形ABCD が平行四辺形A0
.00
x+Q+D
AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致
z= a + bi (a,b は実数) とおくと,
z=a-bi
これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三
"はABC
AD
習
例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち,
2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.
