積分法の問題を教えて頂きたいです。（2）でx=1の時（1）の和を微分したものではなかったのでxが1出ない時の計算も和を微分しては行けないのではないかと思ったのですがなぜ微分できるとわかったのでしょうか？教えて頂きたいです。

G EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。 ⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+...... n ・・+nx"-1 を求めよ。 n (3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い てよい。 n=1 2n 2n [類 東北学院大 ] (1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場 合分け。 ら第n+1項までの和であるから 1+x+x2+······+x=. 1-xn+1 1-x ① ← x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1 (2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI- 1+2+3x²+....+nx" n-1 -(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1) (初項){1-(公比)項数} 1-(公) ←1x(n+1) ←(x)' 0-1 ・(-1)(*)←(%)=o_ur (1-x)2 よって 1+2x+3x2+......+nx" _n-1= nxn+1−(n+1)x +1 (1-x)2 ② ←)の右辺の分子を整 x=1のとき 1+2x+3x2+ +nxn-1 理。 (x)=(x) 1 (笑)=1+2+3+･･･ •+n=⋅ 2 (+1) n(n+1)(x)(x)= (3)x=1/2 ②の両辺に代入すると =(x) n 比部分は 2 3 n 1+ + +…+ = 2 22 2n-1 2n+1 2n k n n+1 両辺を2で割ると IM = k=1 ゆえに = 2(12/2 nk n . よってm=lim k=12k こ k=12k 8 2n+1 n 1 - 2n 2n 2n n ****lim-lim2(+1) n=12n n→∞ =2 20 2" 2+1) n 01 n+1 +1)*(- n=1 27 12 であることに注目し (x)0 2 x=1/2 を代入。 nk ←部分を求めた k=12k - +1 n = ことになる。 0= 22" D +2(-0-0-0+1)

高校数学数列です。 （２）の第k項がなんでこうなるのかわからないです。教えて下さい。

例題23 次の数列の第k項を求めよ. また, 初項から第n項までの和S を求めよ. (1) 1.5, 3.8, 5.11, 7.14, (2)4,4+8,4+8 + 124 +8 +12 + 16,

（2）の解説の最後の赤線引いたところってどうなってるんですか？それぞれなんの数字ですか🙇🏻

例題 23 群数列の基本 から順に自然数を並べて, 下のように 1個,2個, 4個, うに群に分ける。 ただし, 第n 群が含む数の個数は2"-1 個である。 1/2, 34, 5, 6, 7/8, (1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。 (2) 第n群に含まれる数の総和を求めよ。 CHART & SOLUTION 群数列の基本 [類 京都産大 ] C192 もとの数列 第群の最初の項や項数に注目 例題のように,群に分けられた数列を 群数 列という。 区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 区切りをとると もとの数列の 則がみえてくる 群数列 (1) 第4群の末頃までの項の総数をNと すると、 第5群の初めの数は, 自然数の列の第 (N+1) 項である。 また, 自然数の別の 項の数はとなる。 (2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で, あとは初項と項数がわか ればよい。初項は (1) と同様にして求まる。 項数は問題文から、すぐにわかる。 解答 (1) 第4群の末頃までの項の総数は 1+2+2+2=15 第5群の末頃までの項の総数は 1+2+22 +2 +24=31 よって, 第5群の初めの数は 16. 終わりの数は 31 (2) n≧2 のとき,第 (n-1) 群の末頃までの項の総数は 2-1-2-1-1 k=1 2-1 =2"-1-1 1 ← Σ2-1 は, 初項1, k=1 2等比数列の初 ら第 (n-1) 項までの 別解 第群の終わりの数 は2-1であるから、私は ゆえに、第n群の初めの数は 2-1-1)+1 すなわち 27-1 これは n=1のときにも成り立つ。 よって,第n群に含まれる数の総和は,初項が 2-1 公差 が1項数が2の等差数列の和となるから, 求める和は -2-(2+(2-1)) 2 1/1·2"-1{2.2" '+(2"-'-1)・1}=2"-2(3・2"-'-1) =2"-23.2"-1-1)

微積の3問の解き方が分からないです。 どのような公式をどのように当てはめて使うのか、丁寧に教えていただきたいです🙇‍♀️

までだから,和は Sn = 2 Let's TRY 問1.3 次の和を求めよ. (1) 1からはじまる n個の奇数 (2) 2からはじまる n個の偶数 (3)初項 5, 末項 49, 項数12の等差数列

(iv)で青い所はどの様にして出てきたのか分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

(2) 次のシグマ記号で表された数列の和を計算せよ. n 23-2 (i) 3.2" (i)Σ(3k+5) k=1 k l n (iii) (n-k) k=1 n-2 (iv) 1 k=1 2k+1

2で割っても3で割っても1余る数というので何故1がなるのかがよく分かりませんどなたか解説お願いします🙇‍♂️

113 等差数列 (IV) 100 以下の自然数について, 2でわっても3でわっても1余る 数を,小さい順に並べてできる数列は等差数列になる. このとき, 初項,公差,項数を求めよ. 精講 2でわっても,3でわってもわりきれる数は6の倍数ですから, 求 める数は6でわると1余る数 (5たらない数と考えてもよい 演習問題 113) でこのような数を具体的に並べてみるとわかります。 解 答 2でわっても,3でわっても1余る数とは, 6でわったら1余る数の ことだから, 1から100までの自然数で,このような数を並べると次の ようになる. 1, 7, 13, …, 91,97 よって、初項は1, 公差は6 ここで, 97 が第n項であるとすれば, 1+(n-1)・6=97 . n=17 よって, 項数は 17 (別解) 2でわっても,3でわっても1余る数は, 6でわったら1余る <6n-5 でもよい ので 6n+1(n=0, 1, 2, …) とおける. 1≦6n+1≦100 より 0≤ n ≤ n≤ 3 3 33 .. 0≦x≦16 2 よって,初項は, n=0 のときで1 また,nが1増えると 6n +1 は6増えるので, 公差 6. また, 項数は 16-0+1=17 1加える

高一数学、いろいろな数列の和です。 下の写真の式の①をどう計算したら②になるんでしょうか、、教えてください🙇‍♂️

(2)和Sは,初項 2"-1, 公差 1, 項数 2"-1 の等差 数列の和であるから OS 初項は S=1/23・2"-12.2"-1+(2"-1−1)-1} 2=2"-2(32"-1_1 =d 1 (31 2

基礎的な質問で申し訳ないのですが、この和の公式を展開する計算過程を教えてください！ どなたかお願いします！！🙇‍♀️

n-1 2-1-1 2k-1 2-1 k=1 =2"-1-1 ゆえに,第n群の初めの数は (21-1)+1 すなわち 27-1 これはn=1のときにも成り立つ。 よって, 第n群に含まれる数の総和は,初項が 2-1. 公差 が 1 項数が2"-1 の等差数列の和となるから、 求める和は 1/12・2"-1{2・2"''+ (2"-1-1)・1) 2"-2(3・2"-1-1) A=1 2は、初項1, 会社 2の等比数列の初項が ら第 (n-1) 項までの 第群の終わりの は 2"-1 であるから、和 1.2-1 (2-1+(2-1)) =2"-2(3・2"-1-1)

(2)の場合に分けて立式するところまでは出来たのですが、a=1のときのn×1=nはどこから来たのですか？ わかる人教えてください！🙇‍♀️

基本 例題 11 等比数列の和 (2)等比数列1, a,a2, (1) 初項 3,公比 4, 項数nの等比数列の和を求めよ。 0000 (3) 等比数列 27,9,3, の初項から第n項までの和を求めよ。 この第6項から第10項までの和を求めよ。 p.365 基本事項 CHART & SOLUTION ( 等比数列の和 まず 初項 α, 公比, 項数nの確認 初項から第n項までの和 Sn は r≠1 のとき Sn=α(1-r")=a(r"-1) r-1 r=1のとき Sn=na 1-r r>1のときは分母が-1の式 <1のときは分母が 1 の式を使うと、分母がと なり,計算しやすい。 (3) Sto- Ssとして求めてもよいが, So の計算が大変。第6項を初項とみて,項数が50 等比数列の和として求めるとよい。 解答 (1) 求める和は 3(4"-1) c 0-001+ -=4"-1 4-1 (2)初項 1,公比 α, 項数nの等比数列の和であるから 1-(1-a") 1-a")=( a≠1 のとき 1-a 1-a 2 a=1 のとき n•1=n 9 = (3)初項 27 公比 12/27/1/13 であるから,第6項は 5 S= a(-1) r-1 inf. (2) の結果から, α≠1 のとき 1+a+a+ ta 1-a 1-a S10-Ss で計算すると 27-3-(1-9) 59049/ -27-(1- 243/ 2 (1-1/ 9 ゆえに、求める和は、初項 1.公比 1/10 項数 10-6+1=5 の等比数列の和であるから 0 D ←第項から第1項 (1)までの項数は 3 1-1/3 92 1 1 242 243 121 6243 729 l-k+1 +1を忘れないように (1)

答えは等差数列の和の公式で答えているのですが、 シグマ計算で解いたら答えが変わってしまいました。 これはシグマでは解けないということですか？？ わかる方教えてください🙇‍♀️

ex) (から200までの整数のうち、次のような数の和を求めよ (1)4で割って(余る数 4k+1 200 200 200 (4+1)-42 ・200.201+200 80400+200 =80600 Date 3.31