cは任意の実数 って書く必要ありますか？ また、(2)は傾きが同じでＹ切片が違えば平行(3)では、傾きが同じでＹ切片が同じなら直線は一致するってことですよね？

基本 例題 73 2直線の共有点と連立1次方程式の解 連立方程式 ax+3y-1=0,3x-2y+c=0が,次のようになるための条件 を求めよ。 (1) ただ1組の解をもつ CHART & SOLUTION 2直線A, ⑥ の共有点の座標 連立方程式 A,Bの解 2直線が 連立方程式が [1] 1点で交わる (共有点は1つ ) ⇔ 1組の解をもつ [2] 平行で一致しない (共有点はない) ⇔解をもたない [3] 一致する(共有点は直線上の点全体) 無数の解をもつ 解答 ax+3y-1=0 から ゆえに 3x-2y+c=0 から (1) 連立方程式 ①, ② がただ 1組の解をもつための条件は, 2直線①②が1点で交わる, すなわち平行でないことで ある｡ čast 0 よって a 3 ・キ 3 2 ゆえに y=- ゆえに (2) 連立方程式 ①,②が解をもたないための条件は, 2直線 ①,②が平行で一致しないことである。 よって A=I =-=1/x + 7/3/73 a 3 9 a キー cは任意の実数 2 " 3 y=-2/x+€ a=- a 3 1 C 3 2' 3 2 9 (2) 解をもたない (3) 無数の解をもつ p. 121 基本事項 cキ キ 2 (3) 連立方程式 ①, ② が無数の解をもつための条件は, 2直 線①②が一致することである。 よって a 3 1 C 32' 3 9 c= /²/² 3 1回 ! inf. 2 直線 ax+by+c=0, azx+bzy+cz=0 が 平行であるための条件は ab-azb1=0 である (p.120 基本事項 3 ) から, (1) は abz-azbi≠0 より求めてもよい。 なお, a2 = 0, bz=0, Cz=0 のとき, 2直線が 一致するための条件は Xaα₁ _ b₁_C₁ a2 b₂ C2 である。 (3) は, この式から 求めてもよい。 ← ①, ② は同じ方程式 9x-6y+2=0 となる。 125 3章 11 直線

期待値の問題です。それぞれの確率については理解したのですが、それぞれ何個あるのか求められません。 (1)(2)(3)の図形の個数はどうやって数えるんですか？ 解説よろしくお願いします!!

15:50 8月31日 (木) 102 明 重要 例題 63 図形と期待値 ら無作為に選んだ異なる2つの頂点と,頂点0で三角形 T を作るとき, Tの 1辺の長さが1の正六角形OABCDE がある。 5つの頂点A,B,C, D, E か 周の長さの期待値を求めよ。 解答 0が固定されているから、残りの2つの頂点は5つの頂点A, B,C, D, E から2つの頂点を選べば,1つ三角形ができる。 よって, 三角形の総数は 5C210 (個) [1] Tが正六角形と2辺を共有するとき T は頂角が120° の二等辺三角形で, 全部で3個できる。 CHART & SOLUTION 三角形のパターンを考える 三角形の頂点Oが固定されているから, Tと正六角形が, 辺を何本共有するかで分類する。 パターンに分けた三角形のそれぞれの周の長さと, 個数を考える。 1+1+√3=2+√3 このとき、 周の長さは [2] Tが正六角形と1辺を共有するとき Tは斜辺の長さが2, 直角を挟む1辺の長さが1の直角三 [2] 角形で,全部で6個できる。 このとき 周の長さは 1+2+√3=3+√3 [3] Tが正六角形と辺を共有しないとき Tは1辺の長さが3の正三角形で 1個できる。 このとき 周の長さは 3√3 周の長さ 2+√3 3+√3 3√3 計 3 6 1 確率 1 10 10 10 「タイムライン したがって, 三角形の周の長さの期待値は 3 6 (2+√3) × 2 / +(3+√3) × x+3√3×1/10 合 進路選び 公開ノート - 12+6√3 5 ? Q&A 三角形のパターンは、と 3通り AE-1x №3 [1] ③ A B A B A [3] 30° 1 2 30 B 160 2 56% 1600 n 基本 58 30 30% √3 E D CE D D マイページ 閉じる

外部の3つの辺とはどこですか？ 全ての辺で点が増えているので、6つの辺では無いんですか？

図のように五角形上に内側から順に点を並べる。 内側から n番目の五角形の周上および内部にある点の個数を an とお く。 ただし,n=1の場合は1点とする。 例えば, a1=1, a2=5, ag=12,4=22である。 (1) +1 を とnの式で表せ。 " i (2) この数列の一般項 α を求めよ。 "1 (3) an≧2020 となる最小の自然数n を求めよ。 (1) n番目の五角形の周上および内部に4 個の点があると き, (n+1) 番目の五角形は、外側の3つの辺に点を並べ ることで得られる。 1つの辺には (n+1) 個の点が並ぶが, 2つの頂点は共通しているから, 新しく増える点は (n+1)x3−2=3n+1 (個) よって an+1=an+3n+1 (2)(1) から an+1-an=3n+1 bn=an+1-aとおくと, 数列{an}の階差数列が {6}で n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 an+1 (n+1) 個 個 n個n 個 個 an n 15 (n+1) 個 (n+1) 個

なぜ進行形なんですか？

# 私は今度の土曜日に久美と会うことになっています。 [be, next ] kumi next I will be seeing. Satuarday

最大公約数が整数なのは何故ですか？(マイナスになることもあると思うのですが、) また、a.a+1が負の整数でも成り立つと書いてありますが、そうすると、m,nが自然数であることに矛盾してしまいませんか？

倍数、互いに素に関する証明 基本 例題 108 は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, a+3は6の倍数であると (1) a き α+9は12の倍数であることを証明せよ。 (\2) 自然数a に対し, a と a +1は互いに素であることを証明せよ。 CHART & SOLUTION 倍数である, 互いに素であることの証明 (1) m,nを自然数として α+5=4m, a+3=6n と表される。 そして, 「aの倍数かつ の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数｣ であることを利用する。 また, αとが互いに素のとき 「ak が6の倍数ならば, kは6の倍数」 であることを 利用してもよい(別解 参照)。 (0:34.9) 18 18 3 (2) 互いに素である最大公約数が1 最大公約数をgとおいて, g=1であることを証明すればよい。 自然数 A, B についてAB=1⇔ A=B=1 を利用する。 答 (1)a+5,+3は,自然数m,nを用いて a+5=4m, a +3=6n と表される。 p.174,175 基本事項 1.5| ・① a+9=(a+5)+4=4m+4=4(m+1) a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1) ② よって, ① より α+ 9 は 4の倍数であり, ② より α+9は 6の倍数でもある。 したがって, a +9は4と6の最小公倍数12の倍数である。 (2) α と a + 1 の最大公約数をg とすると a=mg, a+1=ng (m,nは互いに素な自然数) と表される。 (n-m)g=1 aが自然 a=mg を a+1=ng に代入すると キロ mg+1=ng すなわち は自然数であるから n-m=1,g=1 したがって, a と α+1の最大公約数は1であるから, a とα+1は互いに素である。 別解 (1) ①, ② から 4(m+1)=6(n+1) すなわち 2(m+1)=3(n+1) 2と3は互いに素である から,m+1は3の倍数 である。 よって m+1=3k(kは自然数) と表される。ゆえに a+9=4(m+1) だから、 183 =4.3k=12k したがって, α+9は12の 倍数である。 α を消去する。 ◆最大公約数は自然数。 ◆α と α+1 が負の整数で も同様に成り立つ。 4 13 紅 FE 女

この答えがこうなる理由教えて欲しいです！

√5 1 A BO step.C ななみさんは, 二次方程式 ax²+bx+c=0 を(x+m)2=nの形に変形することで, 次のように解の公式を導きました。 1 にあてはまる式を書きなさい。 x² +. 11 ax2+bx+c=0 -x+· =0 = x² + b a a b 2a b -x + ( [@] ) ² = − C a a 2 = = 土 両辺をx2の係数αでわる x= 6²-4ac 4a² + ( 1 ) ² ① 2 6²-4ac 2a 6²-4ac 2a -b± √b²-4ac 2a x= 3 + x+ b 2a C を移項して, a JC の係数の 半分の2乗を 両辺にたす 3 文字式の変形が難しいときは, まずは, a, b,c を具体的な数 におきかえて考えてみよう。 eug b 2a

x.yを整数とすると、nがマイナスになってnが自然数であるという条件を満たさなくなりませんか？ x.yは自然数とした方がよくないですかね？ 解説よろしくお願いします！

216 基本例題 128 1次不定方程式の整数解の利用 12で割ると余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本127 CHART & SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+by=cの形に変形 条件を満たす自然数は, 整数 x, y を用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 そこで、 まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め、 それから題意の自然数を求める。 答 求める自然数をnとすると, n は x,yを整数として,次のよ うに表される。 n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 すなわち 12x-7y=3 x=3, y=5は, 12x-7y=1 の整数解の1つであるから 12・3-7.5=1 両辺に3を掛けると 12.9-7·15=3 ①②から 12(x-9)-7(y-15)=0 すなわち 12(x-9)=7(y-15) 12と7は互いに素であるから, ③を満たす整数xは x-9=7k すなわち x = 7k+9 (kは整数) ****** ****** と表される。 n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 したがって 84k+109が3桁で最大となるのは, 84k + 109999 を満た すんが最大のときであり, その値は k=10 このとき n=84・10+109=949 RACTICE 128 11で割ると余り、5で割る 上の解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め それから③を導いて解いた。 しかし、例えば x2, y=3 が①の整数解の1つで あることに気がつけば、これを用いて解いてもよい。 本間のように,x,yの係数が比較的小さいときは,整 数解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場 合もある｡ αを6で割った商をQ, 余りをrとすると a=bq+r ◆まず、①の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 の整数解を求める。 このときy=12k+15 x,yの一方が定まれば nも決まる。 84k + 109≦999 から 999-109 ks. 84 = 10.5...... 12・27･3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0

4=|4|=|-4|なのにa＝|a|=|-a|とならないのは何故ですか？？ すみません資料不足でした 2枚目がその問題です 回答で4の方は3つ枠があるのに、aは２つしか枠がないのが疑問で、問題に則るとaは②③だけじゃなくて⓪も答になるんじゃないかなって思って質問しました。... Read More

2 平方根と絶対値,対称式の計算 (−4)=√16=√424 また, |4|=4, |-4|=4であるから = ア, , (順不同) √(-4)²=4=|4|=|-4| (③, ④, 一般に,実数 α について, la = α', |-α = α' であるから _al² = A エ,オ(順不同) a=|a|=l-al (②, ③) 5) FECENSINAR #1 ⑤) A AJOKESub x=a+1の

n－3.n－9が正の数なら小さい方が1、負の数なら大きい方が-1になる理由は記述した方がいいんですか？ また、Nが素数になることは確認した方がいいんですか？ また、記述の問題の際に気を付けておいた方がいいことがあれば教えて頂きたいです。

188 重要 例題 113 素数の性質の利用 (1) n²-12n+27 の値が素数となるような自然数n をすべて求めよ。 a,bをa<bを満たす自然数とするとき, a+b=p, ab=gを満たす p.174 基本事項 3 (2) 素数p, g を求めよ。 CHART & SOLUTION 積が素数となる条件 ① 素数』の正の約数は1とかのみ (1)a,bを整数, pを素数とするとき 0<a<b,ab = p ならば α=1,b=p (小さい方が1) a<b<0, ab=pならばa=-p, b=-1 (大きい方が-1) ²-12n+27=(n-3)(n-9) が素数のときは, n-3とn-9 がともに正の場合と,とも に負の場合がある。 解答 (1) N=n²-12n +27 とすると (2)積が素数 (ab=g) の条件と α<bから, aとbが決まる。 また, 偶数の素数は2だけ であることを利用する。 p, g の偶奇に注目。 N=(n-3)(n-9) [1] n-3>n-9> 0 すなわちn>9のとき Nが素数となるとき n-9=1 よって n=10 このとき, n-3=7から N=7 となり、適する。 [2] n-9<n-3 <0 すなわち 1≦n <3 のとき Nが素数となるとき n-3=-1 n=2 よって このとき, n-9=-7 から N=7 となり、適する。 [1], [2] から 求めるnの値は n=2, 10 (2) ab=q と α < b から a=1,b=g a+b=p に代入して p=g+1 K & gでありとの偶奇は異なるから p=2+1=3 ①0000 ② 偶数の素数は2だけ よって p=3 は素数であるから,条件を満たす。 したがって 求める素数, q は g=2 p=3,g=2 n-9<n-3, <p,-P<- より まずN を因数分解。 ◆n-3, n-9 がともに 正の数なら小さい方が 1, ともに負の数なら大き い方が-1 7 は素数。 nは自然数だから n≧1 ◆1≦n <3を満たす。 7 は素数 素数αの正の約数は 1 とgのみ p-g=1(奇数) である からか、gの一方は奇 数で,もう一方は偶数。 19が奇数だと仮定する。 このときp=g+1なので Pは偶数、Pは素数なので P=20 2=2+1 + 19 = ¹, これは、県が事故であることに P RACTICE 113 (1) nは自然数とする。 次の値が素数となるようなnをすべて求めよ。矛盾する (ア) n²-2n-24 (1) n²-16n+28 よっては偶数、 (2)a,bを自然数とするとき, a+b=p+4,ab²=q を満たす素数p, g を求めよ。 ズーム 素数の定 もたない ントです。 ①素 素 であ 「素数 この性 ここで, 小関係 のみと のよう 「素数」 まず, 素数で これから p, gを また, のとき 素数は 素数の恒 (2) その後の ② を利用 以上のよう 威力 ざまな性質 ので参考に

(1)(2)(3)の個数はどうやって求めるんですか？ 解説よろしくお願いします!!

102 00000 図形と期待値 重要 例題 63 ら無作為に選んだ異なる2つの頂点と,頂点0で三角形 T を作るとき, T 1辺の長さが1の正六角形OABCDE がある。 5つの頂点A, B, C, D, E か 周の長さの期待値を求めよ。 CHART & SOLUTION 三角形のパターンを考える 三角形の頂点Oが固定されているから, Tと正六角形が,辺を何本共有するかで分類する。 パターンに分けた三角形のそれぞれの周の長さと, 個数を考える。 0が固定されているから、残りの2つの頂点は5つの頂点A,三角形のパターンは,次の B, C, D, E から2つの頂点を選べば,1つ三角形ができる。 3通り よって, 三角形の総数は A=2 √ 5C2=10 (個) [[1] ② 1 [1] Tが正六角形と2辺を共有するとき T は頂角が120° の二等辺三角形で, 全部で3個できる。 このとき, 周の長さは [2] Tが正六角形と1辺を共有するとき Tは斜辺の長さが2, 直角を挟む1辺の長さが1の直角三 角形で,全部で6個できる。 1+1+√3=2+√3 このとき, 周の長さは [3] Tが正六角形と辺を共有しないとき Tは1辺の長さが3の正三角形で, 1個できる。 このとき, 周の長さは 3√3 1+2+√3=3+√3 周の長さ 2+√3 3+√3 3√3計 3 1 確率 1 10 10 (2+√3) X- 6 10 したがって, 三角形の周の長さの期待値は 3 6 10 +(3+√3) x 1 +3√3× 10 10 12+6√3 530 [2] A B 11,1 A B A 30° 2 B 060° [3] 30° 0 七 0 060 0 基本 58 1300 30° √3 32 E D E D E D P RACTICE 63 4 表に 1, 裏に2と書いてあるコインを2回投げて、 1回目に出た数をxとし､2回目に 出た数をyとして, 座標平面上の点 (x,y) を決める。 ここで､ 表と裏の出る確率はと もに とする。この試行を独立に2回繰り返して決まる2点と点(0, 0) とで定まる 図形 (三角形または線分) について (1) 図形が線分になる確率を求めよ。 (2) 図形の面積の期待値を求めよ。 ただし,線分の面積は0 とする。 [ 東京学芸大]