*441 半径rの球に内接する直円柱のうちで、体積が最も大きいものの底面の
高さ, およびそのときの体積を求めよ。
例題 44aは定数とする。 次の関数の最大値を求めよ。
f(x)=-x3+3ax (0≦x≦1)
極大値をとるときのxの値が, 0≦x≦1にある場合とそうでない場合に分ける。
f'(x) = -3x2+3a=-3(x²-α)
指針
解答
このように定義するならば f'(x) ≧0であるから, f(x) は単調に減少する。
と出ている
よって, 0≦x≦1においてf(x)はx=0で最大となる。 x
もの!
a>ならば f'(x)=-3(x+√a)(x-√a)
x= ± √√a
[1] 0<√a < 1 すなわち0<a<1のとき
0≦x≦1におけるf(x) の増減表は, 次のように
なる。
(²)(x)=0 とすると
かなどは考えない
x
f'(x)
f(x)
√a
+ 0
> 極大 >
-
よって, f(x) は x=√a で最大となる。
[2] 1≦√a すなわち 1≦a のとき
0≦x≦1 f'(x) ≧0であるから, f(x) は単調に
増加する｡
よって, f(x)はx=1で最大となる。
以上から
a≦0 のとき
x=0 で最大値 0
0<a<1のとき x=√α で最大値 2a√a
1≦a のとき
x=1で最大値 3α-1
N
接度の値ほどYo
値大きくなる!
[1] f(x)
[2] f(x)
-To
(2)
最大
最大
1√a
X
