なぜこのようになるのですか？

る。 508 テーマ 数学的帰納法を利用した倍数の証明 Key Point 182 「2"-1+33m-2+7"-1 が5の倍数である」 を ① と する｡ [1] n=1のとき AS 2° +31 + 7°= 5 であるから, n=1のとき① は成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つと仮定すると 2k-1+33k-2+7 151 (1は整数) とおける｡ n=k+1のとき 2k +33k+1 +7k = 2x2k-1 +27×33k-2+7×7k-1 =251-33k-2-7k-1) +27×33k-2+7×7k-1 =5(21+5×33k-2+7k-1) 3k-2≧1, k-1≧0より、 21+5×33k-2+7k-1 は整数であるから,00 2k +33k+1 +7kは5の倍数である。 よって, n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から, ① はすべての自然数nに対して成 り立つ。 101-2.33k-2-2.7k-1 O

この数列の問題が最初から分かりません…💦 教えてください🙇‍♀️ 答えは無いですすみません。

文理共通 (数列) ① 神戸大学過去問 (後期) 11 a1=5, a2=1,5an+2=an+1+5a, (n=1, 2,3,…..… で定められる数列{an}につい n m=p2 とおく。 自然数nに対して,次の問いに答えよ。 【 k=1 n を示せ。 (1) T=5qm4+ T=5anan+1 (2)>0 を示せ。 (3) an ≦5an+1 を示せ。 (4) 50㎖+1≦264 を示し, T≦26am 2 を導け。

y=logxの第ｎ次導関数を教えてください。答えは書いてる通りです

J.loge nok (-1)^(^~!)! In

微分積分学の基礎です この問題が分かりません💦 すみませんが細かく教えてくださると幸いです🙏🙏

問題 次の条件で定められる数列{an}について, 以下のことを示せ . 2 0-1 = (₂+²) an+1 1/ an+ an a₁ = 2, (1) すべての自然数nについて, an ≧√2 (2) 数列{an}は単調に減少する. (3) 数列{an} は √2に収束する. | (n=1,2,...)

(1)で、なぜPkとPk -1の成立の仮定が必要だと、n＝1,2の成立を示さなければならないのですか？

数学的帰納法 (2) Pn=t" + m 1 式で表されることを証明せよ. T (2) 各項が正である数列{an}が,任意の自然数nに対して 147 s=1+1, (1) x=t+ n ( 2 ar)=2(ard をみたすとする。 3 \k=1 k=1 (i) a1,a2, as を求めよ. (i) an を求めよ. ○精講 (1) 自然数nについての命題なので 数学的帰納法を使って証明すること ができます.帰納法の第2段階目の証明で,帰納 法の仮定を使うためにPk+1 を Pk を用いて表そ うとすると Pht1 = th+1+ 1 th+1 (n=1,2,3,…) とおくとき, Pnはxのn次 (香川大) == (1) 数学的帰納法で示す。 \2 (I) P₁ = t + 1 = x₁ P₁= 1² + 1/2 = (t + + ) ² -2 よって,n=1,2のときは成立する. Me 329 解法のプロセス (1)n=k, k-1での成立を仮 定し :=xPk-Pk-1 となり, PkとPk-1 についての成立の仮定が必要 になります.したがって, 第1段階目ではn=1,2 での成立を示さなければなりません. (2)結論を推定し,それを数学的帰納法で確か (1) P.Pe...., Pe-1, Pe, Pery めるというタイプの典型的な問題です. (I) (II) 与えられた関係式から am +1 を求めようとする と, ak について k=1,2,3,..., m までの情報 がないと αm+1 の項を求めることはできません. 第2段階目の証明ではk=1,2,3,.., m で の成立を仮定する必要があります. 解答 (* 九州産大) ↓ n=k+1 での成立を示す (2) n=1, 2, ...mでの成立 を仮定し 凸 n=m+1での成立を示す = x^² - 2 (I) (ⅡI) (2) (P1, P2, ..., Pki, Pk+1 (II)n=k, k-1のときの成立を仮定すると、 すなわち, Pk, Pk-1 がそれぞれのk次式, (k-1) 次式である と仮定すると 第8章

不等式の証明意味わかりません。どうか教えてください

微積IX 三角不等式 a, b∈ R とするとき, 微分積分学IX 問題 1 la + 6| ≦ |a| + |6| ただし, 等号はaとbが同符号のときのみ, 成立する. 1 1,2,..., In を n個の実数とするとき, 次の不等式を示せ . (1) |x1 - x2|≦|z1|+|z2| (2) ||1|-|2||≦|x1+2| (3) ||1|-|z2||≦|z1-æ2| (4) x1 + x2 +..+xn|≦|21|+|2| +….. +|xn| (5) 1≦k < n ならば, ||1+...+k|-|k+1+..+xn||≦1+x2+ ... +xn| (6) max{x,y} = (x + y + |x − y\), min{x,y} = 2(x+y-|x-yl) Schwarz の不等式 a, b∈ R とするとき. |ab + cd| ≤ √a² + c² √√√b²+d² ただし, 等号は a:b=c:dのときのみ, 成立する. 2 2n個の実数 1,2,..., In と y1,y2,..., yn に対して,次の不等式を示せ . (1) 1≦x1| (2) |x1Y1+x2Y2| ≤ √√x² + x² √√y² + y² (3) | 191 + x292 + ... + Inyn| ≤√√√√x² + x² + ··· + x² √√y² + y² + · · · V + y²/ Hint: 次の不等式はすべての実数tについて, 成り立つ. (tx₁ + y₁)² + (tx2 + y2)² + ... + (tän + Yn)² ≥ 0 この不等式の左辺を展開し, 整理すると, tについての2次式 (x² + x² + + x² )t² + 2(x1Y₁+I2Y2+...+ïnYn )t + y² + y² + + y₂ がすべての実数tについて, 0以上ということがわかる. そのための 必要十分条件を調べよ. 1 (1) はa=r1, b=-m2 とおく. (2)はa=π1+r2,b=-x2 とおくと, |1|-|22||1+r2 をうる. (3) は (2) , r2 をπ2 とおきかえる. (4) は三角不等式を繰り返し用いる. (5) は (2) を用いる. (2) は右辺の二乗−左辺の二乗≧0を示す (3) は (2) 数学的帰納法により, 示す. または, Hint を参照せよ.

下線部の式変形がどうなっているかわからないので教えてほしいです。

問 45 はさみうちの原理 (ⅡI) 数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす ものとする。 このとき,次の (1), (2),(3)を示せ . Q₁ に対して,0<a<3 に対して, 3-an≦ (1) n=1,2,3, (2)n=1,2,3, (3) liman=3 精講 12100 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,ま ず帰納法と考えて間違いありません. (2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→ 「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています. (3) 44のポイントの形になっています. 臭いプンプンというところでしょう. 解 答 (1) 0<a<3 .･････① を帰納法で示す. (i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ . (i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <an+1<4 \n-1 =(-1) ²² (3-a₁) :: 1<√1+ak<2=2<1+√1+ak <3 12 < ak+1 <3 よって,0<ak+1 <3 が成りたつ. (i),(ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ. (2)an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1 をつくると 右辺にも3ーan がでて くる ħ2=(2−√1+an)(2+√1+an) 2+√1+an 3-a>0 だから, (1)より 1<√1+an <23<2+√1+an<4 3-an 2+√1+an ∴. 3- 3-An 2+√1+an ==< 2+ tan -(3-an) -an+1 < (3—an) 3

数Bの数列です。(2)分からないので詳しく教えてください🙇🏻‍♀️💦

練習問題 12 次の漸化式により定義される数列{an}がある. a=1, an+1= an 1+an 161 (1) a2,a3, as を求めよ. ☆ (2) 一般項an を求めよ.

下線部の式について教えてほしいです。

137 数学的帰納法 (ⅡI) nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) ....... X △(2) 1+ 1 1 + +…+ -2. 2 3 1 2n n n+1 (1) i)n=1 のとき 1) kor |精講 手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解 答 つと仮 左辺=1,右辺=1・1・2・3=1 … ② よって, n=1のとき, ① は成立する. ii)n=kのとき 1² +2²+...+k²=¹k(k+1)(2k +1)-(( が成立すると仮定する. ①' の両辺に(k+1)を加えて 左辺=12+22+..+k²+(k+1) 2 右辺=1/k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 = // (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} ¹3 BST DAAR = 1/(k+1)(k+2)(2k+3) 左辺に, 1²+2²+... +k²+(k+1)² を作ることを考える ト これは,① の右辺にn=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. i), i)より, ①はすべての自然数nについて成立する.

四角く囲ったところがなぜこうなるのか分かりません。 教えていただけると助かります！

192 00000 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ･･･はさみうちの原理 | 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...….) を満たすとき 1 (2) 3-an+1</(3-4²) を証明せよ。 3 (1) 0<a<3を証明せよ。 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 指針▷(1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法 の利用。 (2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。 (3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等 式を利用し、はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。 ..... はさみうちの原理 すべてのnについて pn≦an ≦ gn のとき limp=limgn=α ならば liman=α noo なお、次ページの補足事項も参照。 lim n→∞ 1240 (1,1).9 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (3)(1)(2) から n-1 解答 (1) 0<an<3 ① とする｡ [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから ak+1=1+√1+ak >2>0 ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 SE よって,n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-√1+an 3-An 2+√1+an <= (3-an) したがって [類 神戸大] [Op.174 基本事項 ③3,基本 105 0<3-an≤(1) ¹(3-a₁) 1248 - (3-α1) = 0 であるから lim(3-an)=0 liman=3L n→∞ n→∞0 1 【数学的帰納法による。 <0<a<3 0<a から √1+αk>1 ak<3から √1+αk <2 3-an>0であり、a>0か ら 2+√1+an> 3 n≧2のとき、(2) から 3-an < (3-an-1) <(1/2)(32)