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187 指数方程式の解の個数[1) 開 ★★★☆
方程式 4-2x+2 +k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。
の値の範囲
4'-2+2+k=0 の
2" =t とおく
異なる実数解の個数
r-4t+k = 0 の
おける異なる実数解の個数
に
対応を考えるとの対応を考える
右の図から1つのtの値に対して,xは1つ対応
例題
188 指数方程式の解の個数[2]
についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+70 が異なる2つの正解を
もつような定数の値の範囲を求めよ。
ReAction 文字を置き換えたときは, その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題76
思考プロセス
t=2
[1対1
4+ (a+1)2+1+α+7 = 0 が
異なる2つの正の解をもつ
対応を考える
t=2 とおく
t2+2(a+1)t + α+7 = 0 が
どのような解をもつか?
1つのtの値に1つのxの値が対応
例題187 との違い... f(t)=aの形にすると,式が複雑になることに注意。
+ (a+1)2 +1 +α+70…① とおく
182
2x = t とおくと, x>0よりt > 1 であり, ① は
･･･ ②
+2(a+1) +α+7=0
底を2にそろえ, 2^= t
とおく。
...
t=2*
4
章
x
«WAction_f(x) =k の実数解は,y=f(x)とy=kのグラフの共有点を調べよ IA例題 118
与式を変形すると -(2F)2 +4.2 = k ... ①
4'= (2°)*= (2*)2
2x+2 = 2.22 = 42
指数関数
182
2 = t とおくと, t> 0 であり, ① は
-12+4t = k .. 2
ここで, t = 2* を満たすx は, t> 0 であるtの値1つに
対して1つ存在する。
よって, 方程式 ① の異なる実数解の個数は, tの方程式 ②
の10における実数解の個数と一致する。
ここで,f(t) + 4t とおくと
f(t)-(2-2)'+4
方程式 f(t)kの1>0を満たす実
数は,y=f(t) (10)のグラフと
直線ykの共有点の座標である。
y4
y4
Myf(t) のグラフが軸とt>1の範
囲で2点で交わるのは、次の [1]~[3]
を満たすときである。
y=f(t)
20個
・1個
したがって、右のグラフより。
求める実数解の個数は
k> 4
のとき 個
k
[[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると
D
2個
10 2
4t
1個
IA
ここでt=2を満たすxは,t>1であるの値1つに
対して x>0であるxの値1つが存在する。
よって、の方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは、
tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
f(t) =P+2(a+1) +α+7 とおくと、
y y=f(t)|
2/4 = (a+1)-(a+7)= a +a-6
a+α - 6>0より (a+3)(a-2)>0
a
.0
noiDAO
2次方程式の解と係数の
関係
α+β=-2(a+1)
aβ=a+7
を利用して
判別式 D > 0
(α-1)+(B-1)>0
(a-1)(8-1)>0
からの値の範囲を求め
てもよい。
②を
-(a+1),
01
D> 0
V
