EX
④64
x0,y≧0 のとき, x, yの関数 f(x, y) =x2-4xy+5y2+2y+2 の最小値を求
このときのx, yの値を求めよ。
f(x,y)=x2-4xy+5y2+2y+2
={(x-2y)2-(2y)2}+5y2 +2y+2
←yを定数
ついて基本
yの2
変形。
=(x-2y)2+y2+2y+2
=(x-2y)2+{(y+1)2-12}+2
=(x-2y)^+(y+1)^+1
x≧0, y≧0 のとき
y+1≧1, x-2y はすべての実数
よって
(y+1)2≧1, (x-2y)2≧0
x-2yは
ゆえに f(x, y)≧2
値をとる
f(x.
Tx≥0,
したがって, y+1=1, x-2y=0, すなわち
x = 0, y=0 で最小値2をとる。
