研究例題13 不等式の証明
□(1)|x|<1,|y|<1のとき, 不等式 xy+1>x+y が成り立つことを証明せ
よ。
□(2)
不等式 xyz+2>x+y+z が成り立つ
|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,
ことを証明せよ。
考え方 (2) (1)で証明した不等式を利用する。-2<x-10-2<y-1<0
証明 (1) |x|<1,|y|<1 より, -1<x<1, -1<y<1
xy+1-(x+y)=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)
x-1<0, y-1<0より, (x-1)(y-1)>0
xy +1>x+y
よって,
(2) |x|<1,|y|<1 より,
|xy|<1
これと |z|<1 より (1) の結果を用いて,
xyz+1=(xy)z+1>(xy)+z
これより,
ここで,(1)より,xy+1>x+y であるから、
(xy+1)+2>x+y+z
xyz+2=(xyz+1)+1>(xy+z)+1=(xy+1)+z
よって,
xyz +2>x+y+z