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(1) 微分法の不等式への応用は数学II·B96, 数学II·B97 で学習
礎問
る接線を
求めると,リ=e+1 になります. こ
考
81 微分法の不等式への応用
9=e*
のとき,右図より y=e" が y=z+1
リ=2+1
より上側にあります。だから, ェ>0 では
>ェ+1, すなわち,f(z)>0 であることが
(1) エ>0 のとき, e">++1 が成りたつことを示せ
Ao
e*>ず+ェ+1>
わかります。
-1
0
(2) lim=0 を示せ。
エ→
(3) lim zlog.r=0 を示せ。
エ→+0
(2) z>0 のとき, (1)より
0<く
2
et
2
lim
=0 だから,はさみうちの原理より
limニ=0
注解答では, x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように
精講
済みです。考え方自体は何ら変わりはありません。
エ→ 0
(2)は 78に,(3)は演習問題 79 にでています。
なります。
大学入試で,これらが必要になるときは,
I.直接与えてある(78
I. 間接的に与えてある(演習問題79)
I. 証明ができるように, 使う場面以前に材料が与えてある(81)
のいずれかの形態になっているのがフッウですが,たまに,そうでない出題も
あります。
TA
2.c
0<
et
0<こく
2
+2c+2
2
エ+2+-
I
(3)(2)において, エ=log とおくと, t→ +0 のとき,エ→8
また, e"=elo=
だから,この結果は知っておくにこしたことはありません.もちろん, 証明
の手順もそうです。(1)や(2)で不等式の証明, (3)で極限という流れは4, 個で
学んだはさみうちの原理です。
2=-logt だから,
11 (0
lim (-tlogt)=lim
-=0
t→+0
et
エ→ 0
また, lim(-tlogt)=-lim(tlogt)
t→+0
t→+0
解答
lim tlogt=0 すなわち, lim zlogz=0
エ→+0
(1) f(z)=e"-(+ェ+1) とおく。
t→+0
f(z)=e*-(z+1), f"(z)=e*-1
ェ>0 のとき, e">1 が成りたち, f"(z)>0
したがって,f(z)は z>0 において単調増加.
ここで,f(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(z)>0
よって,f(z) は >0 において単調増加。
ここで,f(0)=0 だから, ェ>0 のとき, f(z)>0
ポイント
log x_0→lim zlogz=0
lim
=0 =lim
エ→+0
エ→0
む→0 et
演習問題 81
(1) ェ>0 のとき,正>log.z を示せ。
logエ -0 を示せ.
ゆえに,ェ>0 のとき, e">→ポ+ェ+1
1
(2) lim
2
エ→ 0
