集合の包営関係 相等の証明
重要 例題48
Zを整数全体の集合とするとき, 次のことを証明せよ。0合葉のト
(1) A={4n+1|n€Z}, B={2n+1|n€Z} であるとき ACBかつ AキB
(2) A={5n+2|n€Z}, B={5n-3|nEZ}であるとき A=B
p.76基本事項
指針>(1), (2) とも要素が無数にあり,すべてを書き出すことができない。このようなときは, 次
のことを利用して証明する。
S8.4
「ACBI→「xEA ならば xEB]
「A=B」→「ACB かつ BCA」
解答
天香像通図¥
(1) ×EAとすると,x=4n+1(nは整数)と書くことができる。
このとき
2n=mとおくと,m は整数で
x=2(2n)+1回)
イ×EBを示すために,
2×(整数)+1の形にする。
B
x=2m+1
ゆえに
xEB
×EAならば×EBが示さ
3
れた。
よって
ACB
また,3EBであるが
AキB
3年A
UK
合 お (関
田さ
イxEBを示すために、
SOS0 5×(整数)-3の形にする。
したがって
(2) ×EAとすると,x=5n+2(nは整数)と書くことができる。
このとき
n+1=k とおくと, kは整数で x=5k-3
x=5(n+1)-3
今円の) きのい
イxEAならばxEBが示さ
ゆえに
xEB
さ れた。
よって
ACB
次に,×EBとすると, x=5n-3(nは整数)と書くことが
できる。
このとき
n-1=/とおくと, 1は整数で
円
次に,×EAを示すため,
5×(整数)+2の形にする。
x=5(n-1)+2
x=5/+2
ゆえに
イxEBならばxEAが示さ
xEA
るあケ> atie
れた。
よって
BCA
したがって,ACBかつ BCAであるから
A=B
用今円郎
る