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重要 例題17
因数分解(対称式, 交代式) (2)
次の式を因数分解せよ。
(1) α'(b+c)+6(c+a)+c'(a+b)+3abc
(2) α'(6-c)+が(c-a)+c°(a-b)
基本14,16
指針> 前ページの例題16同様, a, b, cの, どの文字についても次数は同じであるから, 1つの
文字,例えばaについて整理する。
(1) aについて整理すると ●α+■a+▲ (aの2次3項式)
→係数●,■, ▲に注意して たすき掛け。
CHART 因数分解 文字の次数が同じなら 1つの文字について整理
解答
(1) α'(b+c)+6(c+a)+c'(a+6)+3abc
=(b+c)a°+(ぴ+c+3bc)a+bc(b+c)
={a+(6+c)}{(6+c)a+bc}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)
たすき掛け
1
b+c → が+26c+c
b+c\ bc
bc
b+c
bc(b+c)6+36c+c*
(2) a'(b-c)+が(c-a)+c°(aー6)
aについて整理。
=(b-c)a°_(6ーc')a+6°c-bc
=(b-c)αー(bーc)(6°+bc+c2)α+bc(b+c)(b-c)
=(b-c){αー(6°+bc+c")a+bc(b+c)}
=(6-c){(c-a)+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)}
=(b-c)(c-a){6+cb-a(c+a)}
=(b-c)(c-a)(6-a){c+(b+a)}
=(6-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)
=ー(aーb)(b-c)(c-a)(a+b+c)
(係数を因数分解。
共通因数b-cをくくり出す。
{ }内を次数の低い6について
整理。共通因数c-aが現れる。
これでも正解。
輪環の順に整理。
検討)対称式交代式の性質
上の例題で、(1)はa, b, cの対称式, (2) は a, 6, cの交代式である。
さて,対称式·交代式にはいろいろな性質があるが, 因数分解に関しては次の性質があることが
知られている。
0 a, b, cの対称式 は, a+6, b+c, c+aの1つが因数なら他の2つも因数 である。
2 a, b, cの交代式 は, 因数 (α-b)(b-c)(cla)をもつ [上の例題 (2)]。
よって,上の例題 (2) において, 因数 (α-b)(b-c) (c-a) をもつことを示すために
-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) と答えている。
次の式を因数分解せよ。
17| (1) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abe
(2) a(b-c)+6(c-a)+c(a-b)
練習
