重要
例題
153 置換積分法を利用した定積分の等式の証明(2)
①) 連続な関数f(x)について,等式 Sox (sinx)dx= "" (sinx)dx を示せ。
ogr
0000
(2)(1)の等式を利用して,定積分 "
o 3+sin²x
nxsinx -dx を求めよ。
[(1) 類 横浜国大]
・基本 148 重要 152
指針
(1) sin(π-x)=sinx であることに着目。 -x=t(x=πート) とおいて,左辺を変形。
→計算を進めると左辺と同じ式が現れるから(同形出現), p.233 重要例題 137 と
同じように処理する。
(2)(1)
Cxsinx
sinx
dx=.
-dx である。
23+sin'x
3+sinx=3+ (1-cos'x)=4-cos' x であるから, Cosx=u とおけばよい。
(1)x=-tとおくと
dx=-dt x 0 →π
との対応は右のようになる。
解答
証明する等式の左辺をIとすると
π-> 0
v=Soxf (sinx)dx=S" (t)(sin(x-t))(−1)dt
=S"(n-t)f(sint)dt=zSS(sint) dt-Sot(sint)at S-1(x)dx=f(x)dx
=xSos(sinx)dx-Soxf(sinx)dx
sin(x-t)=sint
m =πSof(sinx)dx-1
1=mSof(sinx)dx
π
よって
xsinx
2 Jo
(2)ノ=So3sin' x
-dx とすると, (1) から
sinx
π
sinx
不
-dx
dx=770 4-cos² x
2
Do 3+sin²x
COSx=u とおくと
sinxdx=du
xuの対応は右のようになる。
よって== Sau
π
-du
定積分の値は積分変数の
文字に無関係。
421=**(sinx)dx
t
◄f(t)== は連続な関
数。
3+12
f (cosx) sinx の形。
I-←I
u
π
←0x
=πS' 4— u² du= 4 Sº(2± μ + 2ª¹)du
2+u
偶関数は2倍。
次に、部分分数に分解。
=410g(2+u)-10g(2-1)=¥105
-log3
練習 (1) 連続関数 f(x) が,すべての実数xについてf(x-x)=f(x) を満たすとき,
とを証明せよ。
