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数学B- -111
arを自然数とし,初項がα,公比がの等比数列 α1, 2, 3, ... を {a} とする。また,自
総合
数Nの桁数をd(N) で表し,第n項がbn=d(an)で定まる数列 bi, 62, ba, ...... を (6) とす
る。このとき、次の問いに答えよ。
(1) a=43,r=47のとき, baとを求めよ。
(2)a=1のとき, 1<<500において, {6} が等差数列となるrの値をすべて求めよ。
(1) an=43.47"-1であるから
α は 5桁であるから
a=43・472=94987
63=5
[類 滋賀大 ]
本冊 数学 B 例題11
←直接値を計算し,桁数
を調べる。
総合
また
α7=43476
よって
40' <a<507
ここで
507=57・107=78125・107=7.8125・10"1012
40'=214・107=16384・107=1.6384・10">10"
ゆえに
10"<α <1012
したがって, α7 は12桁であるから
(2)a=1のとき
an=rn-1
=1であるから b1=1
b=12
①まず初項を求める。
bn は an の桁数であるから, 自然数である。
また,{bn} 等差数列となるとき,公差をdとすると
d=b2-b1=d(a2)-1=d(r)-1
d(r) は自然数であるから, dは0以上の整数である。
ここで, d=0 とすると, すべての自然数nに対してbn=1
また, d(r) =1から
2≤r≤9
このとき, α5=≧24=16であるから
これはbs=1に矛盾するから
すなわち, dは自然数である。
b5≥2
d=0
←40 <43 < 50,
40 <47 <50から。
43・47 の値は求めにく
いから 10の倍数で挟み、
407,507 の桁数を調べる。
←d=bn+1-6nl
←d(r) は自然数rの桁数。
←d≧1となること
(d≠0 であること)を背
理法で示す。
10b-l≦an<10 であり, bn=1+(n-1)dあるから
10(n-1) d≦rn-1<10(n-1)d+1
......
n≧2のとき,①の各辺は正であるから
①
←Nの整数部分が桁
101N<10%
10d≤r<10d+n
①'
1 <r <500 とdが自然数であることから
d=1, 2
←①の各辺を
1
カー乗。
←d≧3のときは,
d=1のとき, 'から
10≦x<10's(=10.10㎡)
10≧1000 となり、不適。
これが2以上のすべての自然数nで成り立つような自然数 ←nの値が大きくなるほ
はr=10であり,このとき {bm} は初項 1, 公差 1 の等差数列と
(1)(1)ール
なる。
ど,
1
n-1
の値は0に近
づいていく (必ず正)。
d=2のとき, ' から
100≦x<10㎡(=10010 よって
これが2以上のすべての自然数nで成り立つような自然数
=100であり,このとき {bm} は初項1,公差2の等差数列
となる。
10<10･10両<11とな
るようなnが必ず存在
する。
以上から
r=10, 100
