113(無理関数の最小〉
考え方 所要時間は無理関数となりますが,その導関数の符
号を調べます。
解答点Oを原点とし, 東方向に軸の正方向,北方向に
9軸の正方向となる座標平面を定め,点Rの座標を(x, 0) と
Q(a+b, a)
a
する。
千葉君が点Pから点Qに至る所要時間を f(x) とすると
QR
PR
0
R(x, 0)
f(x)
au
bw
ーbfp
1
{bVz?+6°+av(a+b-£)?+a°}
abu
1
2c
f'(z)=
6
abu
2V2+6
-2(a +b-2)
2V(a+b-a)2+?
brv(a+b-a)?+a?-a(a+b-a)V+6
abuv? + が((a+6-)2+α
S0のとき f' (z) < 0
a+bSeのとき f' (x) > 0
0SaSa+bのとき, f'(z) は次の式と同符号である。
-A20, BN 0, A+ B>0
のとき
A? - B2
A-B=
{bev(a+b-z)? +a?}?-{a(a+b-a)V22+83?
= Br{(a+b-z)°+a°}-a°(a+6-z)°(2?+8)
= 8(a+b-a)°(r?-α°)+α°{6ー(a+6-a)?}
= 6(a+b-a)?(r+a)(x-a)
+ a°a°(a+ 26 -2)(x- a)
= (z-a){6° (a+b-a)? (+a)+α°2° (a+26-a)}
ここで,0Sハa+bのとき
6°(a+b-z)°(r+a)+α°r° (a+26-a) > 0
だから,f'(z) は-aと同符号である。
よって, 関数f(x)の増減表は次のようになる。
A+B
は A° - B? と同符号です。
-a の因数をくくり出すよう
にします。
0
a
a+b
f'(x)
f(x)
0
極小
よって,f(x) はa=aで極小かつ最小となる。
したがって, 所要時間が最短となるのは, OR %=D a のときで
ある。
