次の値を求めよ。
(1) Co+Ci+n2+....+nCr+......+nCn
(2) Co-nCi+nCz+(-1)*nCr+....+ (−1)" nCm
......
(3) Co-2nC1+22nC₂+(-2)" Cr+...
CHART & SOLUTION
C に関する式の値
+(-2)"nCn
pp.12基
二項定理 (a+b)"=„Coa"+"Cia"-16+nCza"-262+…+nCrab+..+nCzb
の等式に適当な値を代入
二項定理と似た問題ととらえて、結果を使うことにする。
二項定理において, α=1, b=x とおいた次の等式
STEP
数学Aで
る。組合
1 nC
異なる
nCr=
(1+x)"="Co+"Cix+nC2x2++nCrx+…+nCmx"
をスタートにして、この式の右辺のxにどんな値を代入すると与えられた式になるかと
える。
解答
二項定理により
(1+x)"="Co+nCx+nCzx2+...
+nCrx+......+nCnx"
①
異な
①
(1) 等式① に, x=1 を代入すると
(1+1)"="Co+nC1・1+nC2・12+......+nCr·1"
よって
+......+nC・1"
nCo+nCi+nCz+......+nCr+......+nCn=2"
(2) 等式① に, x=-1 を代入すると
①のnCrx”がCとな
ればよいから, x=1を
代入する。
■この等式については、
p.193 を参照。
(1-1)"=„C+„C・(−1)+„C2・(-1)2++,C-1)①のC.xが(V)
よって
nCo-nCi+nCz+(-1)'n Cr)
+......+rC (-1)”
(−1)
+....+(-1)*C=0
(3) 等式① に, x=-2 を代入すると
(1-2)"=C+C1・(-2)+C2(-2)^+......+Cr.(-2)
となればよいから、
x=-1 を代入する。
①のnCrx”が
(2)', C, となればよい
から、x=-2 を代入
+....+nCm・(-2) 出会
る。
よって 元Co-2 C1 +22 C2-+(-2)' n Cr
+......+(-2)",C=(-1)"