なぜこうなるのか教えていただけたら幸いです

638 例題 140 an+1= f (n)an+α型の漸化式 ★★★☆☆ kan+1 によって定められる数列{an}がある。 a1=2, an+1=- an (1) n(n+1)* (2) an をnの式で表せ。 n+2 HEAL (1) bn= 拍動 n = bm とおくとき, bn+1 をbnとnの式で表せ。 an `n(n+1) ' を利用するため, 漸化式の両辺を(n+1)(n+2) で割る。 (2) (1) から 6n+1=bn+f(n) [階差数列の形] 。 まず, 数列{bn}の一般項を求める。 (67) 12 n+2 an n(n+1) [解答 (1) an+1=- an+1 の両辺を (n+1)(n+2) で割ると dan+1___________ n an (n+1)(n+2)¯¯n(n+1)*(n+1)(n+2) (*) DO SPR bn+1= = 6 とおくと 165 = 1+ bn=b₁+Σ an+1 (n+1)(n+2) n-1 (n+1) の式 まず、漸化式の a 1 4 (2) b₁=- -=1 である。 (1) から, n ≧2のとき 階差数列1.2 = bn+1=bn+. = n (3n+1) 2 n-1 k=1 (k+1)(k+2) =1+(1/2-3)+(-1)+..+(1/ 1 1 3 1 3n+1 „]=_ =1+. 2 n+1 2 n+1 2(n+1) 初項は b=1 であるから,①はn=1のときも成り立つ。 初項は特別扱い よって an=n(n+1)bn=n(n+1). 3n+1 2(n+1) 1 (n+1)(n+2) =1+2 k=1\k+1 k+2 100 ◆例題135,125 n+1 検討 上の例題で、 おき換えの式が与えられていない場合の対処法 n+2 漸化式のに n an=n(n+1)bm, an+1=(n+1)(n+2)b を漸化式に代入して もよい。 部分分数に分解して、 差の形を作る。 途中が消えて、最初と 最後だけが残る。 例題125 と同様) が掛けられているから, 漸化式の両辺に×(nの式)をすることで f(n+1)an+1=f(n)an+g(n) [階差数列型の漸化式] に変形することを目指す。 nの式

この問題なのですが、Cの数列からBの数列をだすときにCの数列の項数はn－2個なので ∑[k=1,n-2]6K+12で計算をしようと思ったのですが、この考えが合わない理由が分からないので教えて欲しいです！

り立つか ぜなら、 べる 3....... 1 o 1)で おい O H 基本例題106 階差数列 (第2階差 ) 次の数列の一般項を求めよ。 6,24,60, 120, 210,336,504, 指針与えられた数列{an}の階差数列{bn} を作っても、規則性がつかめないとき は {bn}の階差数列{an}の第2階差 数列) {cm} を調べてみる。 一般項 C がわかれば, Cbn→α の順に 一般項 αn がわかる。 CHART 階差1つでわからなければ2つとる 与えられた数列を {an}, その階差数列を {bn} とする。 また、数列{bn}の階差数列を {C} とすると {an}: 6,24,60, 120, 210,336,504, {bn}:18,36,60, 90, 126, 168, 18, 24, 30, 36, 42, {C}: 数列{cm} は,初項 18, 公差 6 の等差数列であるから Cn=18+(n-1)･6=6n+12 n-1 n≧2のとき bn=b₁+ ≥ck= k=1 = 18+6 - • 1/1/2/(n- k=1 1:2 数IA {an}: ar {0}: {cm}: n-1 n-1 k=1 CR=18+ (6k+12) k=1 (n−1)n+12(n−1)=3n²+9n+6 この式にn=1 を代入すると, b1=3+9+6=18 となるから bn=3n²+9n+6 (n≧1 ) よって, n ≧2のとき an=a₁+ Σbk=6+ Σ(3k²+9k+6) =6+3.(n-1)n(2n-1)+9.(n−1)n+6(n−1) a2 a3 a4 as 62 b。 C1 C2 練習 次の数列の一般項を求めよ。パパ ③ 106 2, 10,38,80, 130, 182,230, このとき, 数列{bn} を {an}の第1階差数列という。 = 2.2(n²+3n+2) = n(n+1)(n+2) この式にn=1 を代入すると, α = 1・2･3=6となるから,n=1 のときも成り立つ。 したがって an=n(n+1)(n+2) C3 [岩手大] WAFOO 4300 n-1 4Σk= k=1 16 24 60 120 18 36 60 n-1 基本105 an-1 an k=1 bn-1 bn n-1 Σk² k=1 Cn-1 18 24 30 36 +6 +6 +6 210 336 2=1/12 (n-1)n 90 126 12-12(n-1) 2030 初項は特別扱い しめくくり。 -12 (n-1){(n-1)+1) x{2(n-1)+1} = 1/(n-1 6 初項は特別扱い (n-1)n(2n-1) -0,0 〒543 [類 立命館大] (p.555 EX70 3章 14 FOTO 種々の数列 にか E er

矢印を書いたところの計算がどうしても合いません💦どなたか途中式を教えてください！

t (3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an}の階差数列の第n項 は2-3n+1であるから, n≧2のとき ORD n-1 an= a₁ + (2*—3k+1) k=1 n-1 =1+ Sats (d) (3) -0-(8-0-4)=10-10= n-1 n-1 =1+ Σ2²-3Σk+ Σ1 HO 25 k=1 k=1 k=1 H 2(2²−¹−1) −3. ¹½ (n−1)n+(n−1) 2-1 を求める 2 3 = = 2"-2² 1²³ + 2n-2... 1 5 21-212312+12/21-2=1 •12+ n=1のとき a=1であるから ① はn=1のときにも成り立つ。 [R 1+ したがって an=2" - 2² n²+2n-2 ****

至急お願いします。 なぜ絶対値をつけているのでしょうか。 また、波線の部分がどのように導かれたか分かりません。 97について、Bp =xnと置いた理由や、1/2とは何を指すのか教えていただきたいです

ときの極 基本事項 D 基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け) rn-1 2218 mn+1 よって キー1 のとき, 極限 lim- CHART rk1のとき よって lim →∞ r=1のとき \r|>1 のとき ♪” を含む数列の極限 .72 {r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える ” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。 ことができる。 |r|>1 {r^*} >1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用 <1 する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。 lim n→∞ limr"=0 1218 OLUTION xn-1_0-1 inn+1 nn-1 rn+1 0+1 r"=1. よって ||<1 =lim n→∞ ゆえに n 1- (-1) " 1+ n を求めよ。 r=±1 が場合の分かれ目･････ = -1 lim nnn+1 1+1 lim n→∞ (1) 1-0 1+0 n =1 -- p.141 基本事項 基本 89 =0 =0 inf. r=-1 のとき, nが 奇数ならば r"=-1 であ るから, (分母)=0 となり rn-1 rn+1 が定義されない。 147 ◆分母・分子をr” で割る。 INFORMATION” の極限 この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として 場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが, // 1)") 4章 10 数列の極限

波戦部分の式はどこから出てきたのですか？

498 基本例題 105 an+1= pan+ (n の1次式)型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=3, an+1=2an-n CHART 解答 an+2=2an+1−(n+1), an+1=2an-n OLUTION 漸化式 an+1=pan+ (n の1次式) (1) DE LA) F ① 階差数列の利用・・・・・・ ② an+1-f(n+1)=p{an-f(n)}と変形・・・・・・! ②の変形については右ページのズームUP を参照。 下の解答は①の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。 すなわち よって, n ≧2 のとき 110 I+S. 辺々引いて An+2¬An+1=2(An+1¯an)—1—(4) RST (1) bn=an+1- an とおくと bn+1=26n-1 さら 80 b1=a2-aｭ=(2・3-1)-3=2 ① bn+1-1=2(6n-1) また ①から 更に b₁-1=1 ゆえに, 数列{bn-1} は初項1,公比2の等比数列となり bn-1=1・2n-1 bn=2n-1+1 n-1 ...... an= a₁ +(2k-¹+1)=3+ 00001 2n-1-1 2-1 Imga=2α-1 を解くと k=1 =2n-1+n+1 CUST が内 「 α=3であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。 HOT したがって FOT an=2n-1+n+1 基本103.10 1-S α=1 (1+8)_₁³S=1-(I-AS)Slan+₁-αn=2²-¹² + +(n-1) を消去して |inf.bn=2"-1+1 を た後は an+1=2an-n から an+1 an=2n-1+n+1 did と求めてもよい。 n=1 とすると 2°+1+1=3

3番です。 どこが間違えていますか？ わかる方、教えてください🙏

基本例題 103 漸化式の基本 pand 0 000①① 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (2) a1=2, an+1=3an (1) a1=4, an+1=an+5 (3) a1=1, an+1=an+4" CHART OLUTION 漸化式の基本 漸化式からどのような数列かを考える 基本的な漸化式には次の3つのパターンがある。 an+1=an+d (dは定数) 公差d の 等差数列。 公比rの等比数列。 (2) an+1=ran (rは定数) ③ an+1=an+f(n)(f(n)はnの式) よって, n≧2のとき n-1 → (1)an+1-αn=5 より,数列{an} は初項 α = 4, 公差 5 の等差 数列であるから an=4+(n-1)・5=5n-1 (2)an+1=3an より, 数列{an} は初項 α1=2, 公比3の等比数 列であるから an=2.3n-1 bn=f(n) とすると, {bn} は, {an}の階差数列。 n-1 よって,n≧2 のとき an=a+bk を利用して an を求める。 (3)an+1-αz=4”より, 数列{an}の階差数列{bn} とすると bn=an+1-an=4n したがって - MOITUTO k=1 k=1 n-1 An=A₁+ [bk=1+ [4²=1+4(4″−¹−1) 4-1 =1+1/12 (4-1-1)=1/12 (4^-1). 3 an k=1 n=1 とすると 11/13(4-1)=1 =1であるから ① は n=1のときにも成り立つ。 |p.494 基本事項 1 SIL an=a+(n-1)d ← an = arn-1 ◆階差数列の一般項はす ぐわかる。 (*) {=1−}=1−5=S=_d inf. (*) で n=2, 3 とすると az=5, a3= 21 また, 漸化式からa2=a1+4=5, Q=a2+4=21 となり,一致する。 このように, n=2, 3 などで検算をするとよい。 495 n-1 Σ4は初項4,公比 4, k=1 項数n-1の等比数列の 和。 初項は特別扱い。 3>831-33 [+ ¯"S-E=1+₂0=.0 3章 13 漸化式

(2)ので答えがこの答えになる途中式を教えてくださいお願いします。

基礎問 196 128 3項間の漸化式 a=2, az=4, an+2=-an+1+2an (n≧1) で表される数列{an² がある. (1) an+2-Qan+1= β(an+1- aan) をみたす 2 数α, βを求めよ. (2) an を求めよ. 精講 an+2=pan+1+qan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 t=pt+g の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます. (I) αキβ のとき an+2=(a+β)an+1 - aban より an+2aan+1=β(an+1-dan) lan+2 - Ban+1=α(an+1-Ban) ①より、数列{an+1 - aan} は,初項 α2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので、 ...1' an+1-aan=β”-1 (az-dai) 同様に,②より, an+1- -Ban=an-1 (a2-βa) .......②' ①②' より, (B-α)an=β"-1 (a2-aaî)-α"-' (a2- Bar) β”-1 (a2-aal)-an-1 (az-Bas) B-a :: An= 注実際には α=1 (またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-QQn+1=α(an+1-aan) an+1-dan=an−1 (azaas) ③ つまり,数列{an+1- can}は,初項a2-aa,公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって, an+1 Q²+1 n≧2のとき、a+ ak k+1 k=1\a よって, an an -=(n-1).az-aa1 a² ∴a=(n-1)α"-2a- (n-2) α7-11 a1 an an an a azaar a² a2day a²

（１）の解き方を教えてくださいませんか よろしくお願いします

【1】 次の数列において,初項から第n項までの和 S, を求めよ. 2 (n-2), 3 (n-1), 4-n,, (n+1)-(2n-3) S₁ 1 1 n 2 n² + 3 n- 4|5 【2】 数列-5,7,11,10,7,5,7,16, 35, ... の階差数列の階差数列は どのような数列か. 初項| 6| 7 公差 8 の等差数列 (50点) (50点)

２番です、丸と四角で囲ったところはなぜこのように表せるのですか？

基礎問 190 第7章 数 列 125 2 項間の漸化式 (IV) α=0, an+1=2an+(-1)”+1 (n ≧1) で定義される数列{an}が ある. an (1) bn= とおくとき, bn+1 を on で表せ. 2" (2) bn を求めよ. (3) an を求めよ. an+1=pan+gn+1 (p=1, g≠1) 型の漸化式の解き方には、次の2 精講 通りがあります。 Ⅰ. 両辺を " +1 でわり, 階差数列にもちこむ (124 ポイント) ⅡI. 両辺を g”+1 でわり, bn+1=rbn+s型にもちこむ この問題ではIを要求していますから、 ます. an+1=2an+(-1)n+1 ・① (1) ① の両辺を27 +1 でわると, - + (-²/2 ) 1 an+1 an 22+1 2" an n=6m 22 = b とおくとき (2) n≧2のとき, n+1 ⒸKY ba+i=b₂+ (-1/2) ²*² bn=b₁+ \k+1 ₁ + 2/(- 12) *** k = 1 n+1 =0+ 1----1/72 解答 n-1 an+1 2n+1=bn+1 と表せるので IIによる解法を示しておき = 1+1/1/12 これは,n=1のときも含む. 1/12(-1/2)} 1①に, an=2"bn, an+1=2n+16+1 を 代入してもよい |121 階差数列 118 初項 1.公比1/ 項数n-1の 等比数列の和 【吟味を忘れずに

(3)の答えでnの位置がなぜこの場所なのかわかりません。教えて下さい。

基礎問 186 第7章 数 122 2 項間の漸化式(I) 列 次の式で定義される数列の一般項an (n ≧1) を求めよ. (2) a1=2, an+1=3an (1) α=1, an+1=an+2 (3) a1=0, an+1=an+n2 数列は規則性をもった数字の列ですから, 実際の数字を並べなくて 則を表現した式が漸化式 (「ぜんかしき」と読みます) です. 漸化式 もその規則性を明示すれば数列を表現したことになります。その規 には様々な型があり, その型によって解き方 (=一般項の求め方) が決まりま す。 これから8回にわたって, 型別の漸化式の解き方を勉強していくことに ましょう. ***** 解 答 (1) α=1, an+1=an+2は初項1, 公差2の等差数列を表すので、 an=1+(n-1)・2=2n-1 | 110] (2) a1=2, an+1=3an は初項2,公比3の等比数列を表すので、 an=2.3n-1 (3) an+1- an=n² より {an}の階差数列の一般項は n² ポイント n-1 よって、n=2のとき,40+2=1/12 (n-1)n(2n-1) k k=1 これは, n=1のときも含む. an+1=an+d 121 ポイント ⇒ {an}は公差dの等差数列 {an}は公比rの等比数列 an+1=an+f(n) {an}の階差数列の一般項はf(n) an+1=ran