-
![]()
実戦問題 90 対数関数の最大・最小
aを正の定数とする。関数f(x)= (logs4x) (logs/14) + alog.x (1≦x≦32) について
I
(1) t = log2x とおく。 f(x) をもの式で表すと, f(x)=ア+イウ++
また,t の値のとり得る範囲は オsts [カである。
(2) a=2のとき, f(x)はx=キのとき最大値
(3)
x2 におけるf(x) の最大値をM とする。
0<a<ス のとき M = al
+
るとき,定数aの値を求めると α =
解答
Key 1 (1) f(x)
Key 2
=
=
(loga 4x) (logs (4) + alogix*
(log24+log2x) (log24-log2x)+α・
である。
4t
(2+t)(2-t)+a.. = -t° +2at +4
log2 log2x log2 32 すなわち
(2) g(t) = -t + 2at + 4 とおく。
a=2のとき
1/1
1≦x≦2のとき, 各辺の底を2とする対数をとると
0 ≤ t ≤5
g(t) = -t+4t+ 4 = -(t-2)² +8
よって, g(t) は t = 2 のとき 最大値8
t = 5 のとき 最小値-1
スのとき M = タチ α- ツテであるから,M=13 と
ここで
(01-7 t = 2 のとき, log2x=2より
t = 5 のとき, log2x=5 より
したがって, f(x)はx=4 のとき
log2xd
log24
a=
4 (1) 085 0= (01-
x=4
x=32
最大値8
x = 32 のとき 最小値-1
x=[ケコのとき最小値サシをとる。
(3) g(t) = -t²+2at + 4 = −(t− a)² + a² +4
(i) 0<a<5のとき
TAM
右のグラフより
t=α のとき M = a² +4
また, M = 13 となるとき
a² +4 = 13 h a² = 9
0 <a < 5 であるから a = 3 (EXB)(C
(ii) a≧5のとき
右のグラフより
t = 5 のとき M=10a-21
また, M = 13 となるとき
17
10a-2113 より
5
これはα≧5を満たさない。
(i),(ii) より, M = 13 となるとき,定数aの値は
a=3
e
-1
2
g(t)
(Ba²+4)
4
8
4
29112
Ag(t)
<10a-21
02 15
Oa5
となる。
g(t)
5a
真数は正であるから
4
4.x > 0, >0, x¹>0
であるが, 1≦x≦32 より、
これらの不等式はすべて成り
立つ。
| a>1 のとき
M<N⇔loga M < loga N
AST-48 (S)
y=logax⇔ x = a
区間 0<t<5に頂点が含まれ
るかどうかで場合分けする。
XUAL 57
