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基本例題 24 比例式と式の値
x+y=y+z=2+x(
(1)
6
b+c_c+a_a+b
(2)
解答
(1)
5
a
x+y=y+z
6
よって
比例式は=とおくの方針で進める。
A
指針 条件の式は比例式であるから,
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k
(1) =kとおくと
これらの左辺は x,y,zが循環した形の式であるから、Aの辺々を加えてみる
すると, x+y+z をkで表すことができる。 右下の検討 参照。 (2) も同様。
WHY
z+x
b+c=ak
コ ① +② +③ から
xy+yz+zx
x2+y2+22
(2) 分母は0でないから
b+c
c+a
a
7
a+b
C
x+y=5k
図 ① +② +③ から
2(x+y+z)=18k
したがって
x+y+z=9k
④-②, ④-③, ④-① から,それぞれ
x=3k, y = 2k, z=4k
①,y+z=6k
C
xy+yz+zx
x2+y2+22
のとき、この式の値を求めよ。
(0) のとき,
-=kとおくと, k=0で
a
.....
①,c+a=bk
6k²+8k2+12k2
(3k)²+(2k)²+(4k)²
26k2 26
29k2 29
abc0
-=kとおくと
②,z+x=7k
2, a+b=ck
2(a+b+c)=(a+b+c)k
-a 1=-1
a
の値を求めよ。
(3)
(3)
よって
(a+b+c) (k-2)=0
ゆえに a+b+c=0 または k=2
[1] a+b+c=0のとき
b+c=-a
b+c
よって
k=
[2] k=2のとき, ①-② から a=6(* ②-③から6=c
よって、a=b=cが得られ, これは abc≠ 0 を満たすすべ
ての実数 a b c について成り立つ。
[1], [2] から 求める式の値は
-1, 2
検討
①~③の左辺は, x,
循環形 (xyz→x
次の式が得られる)
いる。 循環形の式は
加えたり、引いたり
処理しやすくなること
<x:y:z=3:2:4
3・2+2・4+4・3
32 +22+42
計算することも
=
<abc≠0⇔a=0 カ
+¥0 かつ
PLAY ONL
0の可能性がある
両辺をa+b+cで
はいけない。
(*)k=2のとき, ①
らb+c=2a, co
この2式の辺々を
b-a=2(a-b
よってa=b
(分母) 0の確認。
