次のしたの問題で青い所からの意向がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

[1] 次の定積分を求めよ。 ただし, m, n を正の整数とする。 (1) S sinmx sinnx dx π S.” (2) " xsin mx dx π [2] I = { (asinx+bsin2x+csin3x-x)dx とおく。I を最小にするような 0 実数a, b, c の値と, I の最小値を求めよ。 (九州大)

［解答］の一行目、 f(x)=ax^2+bx+c を微分してf(x)=2ax+b f(0)=2 から　c=2 ↑だけ微分をする前の式（f(x)=ax^2+bx+c ）に代入しているのは、fに点がついていないからですか？（f'です）

CONNECT 37 関数の決定(微分係数の利用) 次の条件をすべて満たす2次関数 f(x) を求めよ。 f(0) =2, f'(0)=-3, f'(1)=1 考え方 f(x)は2次関数であるから, f(x) =ax2+bx+c (a≠0) とおき, 問題391 と同 様に計算して a, b, c の値を求める。 ひふん 解答 f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると f'(x) =2ax+b f(0)=2 から c=2 f'(0)=-3 から b=-3 f'(1)=1 から 2a+b=1 ゆえに すなわち よって 2a-3=1 a=2 これはα≠0を満たす。 f(x)=2x2-3x+2 88

378（2）の問題の解答です。 青の印から赤の印の形にする方法がわかりません。

b-a = b-a - 378 (1) (4b — 1) — (4a — 1) — 4(ba) - 4 In 888 (2) (3) = (62-2b+2)-(a2-2a+2) b-a (62-a2)-2(b-a) (b-a)(b+a-2) b-a =b+a-2 + (63-b)-(a3-a) b-a = b-a =18 A (63-a3)-(b-a) (b-a)(b²+ba+a2-1)

230の問題で左下の青線からの計算がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

- ½³ a (1-2cos4x+cos24x)dx 1* (1-2cos4x+ 1+cos8x 2 dx 半角の公式をくり返し用 いる。 1 =* 3 1 4 2 -2cos4x+ cos8x)dx 2 3 1 2 2 - (*-sin4x+sin8x]** 1 16 3 16 π (2) sin4xsin6x dx = - 1 2 Jo sin 10x-1/2 * {cos 10x-cos(-2x)}dx sinasinẞ = - {cos(a + B) sin2x = 0 (3) L cos20 do = I 2 2 cos20-1 -do cos20 1 -(2-) 19 = -[20-1ano] = 44 =(1/2)-(+1)-1/2-13-1 230 次の定積分を求めよ。 (1) (1) L√x+1dx - cos(a-B)} 2倍角の公式 cos20 2cos20-1 (2) S" |√1+cos2x = √1— cos2x |dx √x+1dx=√x-1dx+√x+1dx = = -2 -L'(x-1)x+(x+1)* dx (-x- − 1)} } ] + [ ³ ³ (x + 1) } ] ₁₂ (2) √1+cos2x = 6 3 16 + 3 √1-cos2x dx [ \V2cos* x − 2sin® x \da 42 | | ||cosx| —sinx|da - V2 ( * |cosx = sinx | da + -COSA | sinx|dx $ =√ √ 4z ( sinx – cosx|da + S sinx−(−cosx)\da グラフの対称性より, 求める定積分は y y=sinx I 4√2 √2 f** (cosx-sinx)dx =4V 2sinx+cosx] = 8-4√2 231 次の定積分を求めよ。 y= Cosx y-cost (1)dx sin20 (2) de (3) esin 1+ cos (1) e* =t とおくと, x=logt となり dx 1 = x 0-2 dt t t 1- e² xtの対応は右のようになるから e2x Lodde ex +1 dx = 12 1 t+1 t dt == (1) == t+1 dt = t-log|t+1| e²+1 =e-1-log- 2 (2) S sin 20 do = 1+cose · £*· 42sin@cose do 1+cose 0 0-> 4 dt ここで, cost とおくと -sin0 = 0 との対応は右のようになるから √2 do t 1→ 22 2 |x+1] = (-x-1 (x-1) x+1 (x-1) (与式) 2t 1+t (-1)dt = 2 = 2 √ √ 1 + 1 de dt √21+t =2[ = - 2 √ √ (1-111) de t-log|1+t 2+√2 =2-√2+2log- 4 (3) esinx sin2x = esin³x. 2sinxcosx πT x 0-> dt 4 2cos2 x 2sin x 1+ cos2x 1-cos2x ここで, sinx=t とおくと 2sinxcosx xtの対応は右のようになるから dx 1 t 0 → 2 0≦x≦のとき sinx=0 |cosx| COSX ≤x≤ cost (SIS) (4x) = √* -L² esin x 2sinxcosx dx } = [² e' dt = [e'] = √e-1

微積分 マクローリン展開 これのx^6はどこへ行ったのかが分かりません。教えてください

sin² x x² COS X 3 sx = (x - 1/2²³ + 0 (2³)² - 2² (1 - 1/1²+(¹) 2 +o(a 1 = (³½ + ½)²+(x²) = x²+ x² +0(x³) = =—=—x² + 0 (x³), 6 2 6 0(x³)

この問題、hの範囲は考えていますがrの範囲は考えなくてよいのですか？ どなたか教えて下さい。

107 図形と最大最小 h, 微分積分 半径1の球面に内接する円柱について考える.このような円柱の高さを (1)んで表せ 底面の円の半径を、体積をV とする. (2) Vの最大値を求めよ. が成り立つ、したがって, r = 解答 (1) 図の三角形OAB に三平方の定理を用いると +(1/2)=1より、ニゲ 4-h (長崎大) 4 4 √√4-h² O 2 (2)(1)の結果を用いると, V = r²h=π- 4-h² 4 h=(4-h²) h 2 B ここで,f(n)=(4-1)n=(4h-h) とすると, f'(h)=(4-3h²)=√3h+2)(√3h-2) 条件より, 0くん<2であり, この範囲における増 減表は右のようになる。 球面の半径が1 (直径2) であるから,0くん<2であ ることにも注意して考える 2 h 0 ... 2 3 2 以上より,Vはん=- で最大になり,最大値は, [f'(h) + 0 √3 九 2 4√3 f(h) > 最大 4- = -π √3 9 解説講義 f(h)=(4-h²)hh= を代入した 2 √3 2次関数の最大最小問題では「頂点」と「定義域の端の値」に注目した.3次関数の最大 最小問題では「極値」と「定義域の端の値」に注目してみるとよい。ただし,2次関数のと きと同じように、定義域をきちんと確認しないといけない. 本間では,円柱が半径1の球面 に内接しているので,高さんは0くん<2である. このような定義域(範囲の制限)のある関数の増減表を書くときは、定義域の左端と右端 が入る欄を用意して書くことが一般的である.また,増減表の3行目の矢印からんの ときにf (h)が最大になることが読み取れるので, グラフを描く必要はない. 文系 数学の必勝ポイント 3次関数の最大最小問題 √3 「極値」と「定義域の端の値」に注目する

108番の〔4番〕の解説をお願いします

=- f (x² - (m+4)x+m+2}dx α, Bは,ー(m+4)x+m+2=0 の2解だから S=-f(x-a)(x-B)dx=(-a)³ 169 注 紙面の都合で途中の計算は省略してありますが、101 (2) のようにき ちんと書いてください。 (4) 解と係数の関係より,α+β=m+4,aß=m+2」 考 .: (B-α)²=(a+B)2-4aß= (m+4)2-4(m+2) =m²+4m+8 S= {(B-a)²} = (m²+4m+8) S: 6 6 1/2 .(*) S=1/2(+2)2+4/12より=-2のとき最小値 4.3 をとる。 (*) は, よく見ると(2)のDです. これは偶然ではありません。 ar2+bx+c=0 (a>0) 2解をα, B(α<β) とすると, 参 -b-√D a= B==b+√D 2a 2a -b+√D . β-α= -b-√DD 2a 2a a 本間は α=1のときですから, (B-α)²=(√D)=D となるのは当然. このことからわかるように, 2解の差は判別式を用いて表すことも 可能で,必ずしも, a + β, aβ から求める必要はありません。 ポイント S(エーα)(エーB)dz=

数3の定積分です。(1)について、解答では2倍角の公式で解いてるのですが、自分のように(下の写真)cos^2θを積分して解くというやり方ではできないのでしょうか。できるなら自分の間違っている箇所を指摘してほしいです、回答よろしくお願いします。

54 基本例 149 定積分の置換積分法 (2) x=asind 000 次の定積分を求めよ。 (1) では αは正の定数とする。 (1) S²√a²-x² dx (2) Or So √2 dx √√4-x2 指針 これらの被積分関数の不定積分は、高校の数学で出てくる関数だけで表すこ ない。しかし、特定の積分区間をもつ定積分については, 置換積分法でその ることができる。 この問題では,(1)x=asin0, (2) x=2sin0とおき換えると解決できる。 α 26 (1)xA a 02 CHART ax の定積分 x=asin とおく (1) x=asin0 とおくと dx=acos Ado xとの対応は右のようになる。 400のとき、cos0 >0 よって ゆえに 6 √a-x2=√a2(1-sin20) = √ a² cos² 0 = acost XC 0- 0 0 S² √a²x² dx = (a cos 0) a cos 0 de =a*S*cos² 6 do=a² a2 a² = 0+ 2 = a² 4 1+ cos 2 sin 201a² 2 TC √√3 3 + 2 == 10 2 1+cos 20 2 de π 1 √3 ( 6 + 2 2 解答 (1) 6

面積が赤線のように表されるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

応用次の極限値を求めよ。 例題 6 1 S=lim 1 + 1 nn+1 + + n+2 + n+3 n+n k nk=1 n 考え方 127 の形を作るために,1をくくり出す。 n 1 1 解答 S=lim 1 1 + 1 + + non 1 2 ・十 1+ 3 1+ 1+- 1+ n n n n n n 1 5 = k y 1 = lim 12 n→∞nk=1 ここで,f(x)= 1 1+ n 1x とすると k slim-(4)=Sjf(x)dx = 1 dx =[10g|1+x 10=10g2 o1+x 012 y= y-1+x 1 x n n

数3の定積分です。(2)について、解答では差の形で部分分数分解しているのですが、和の形ではできないのでしょうか。もしできるのなら、和の形で計算した結果答えがずれてしまったので間違っている箇所をご指摘していただければ幸いです。回答よろしくお願いします。

S x²+3 26278 de d2 (算で分けてみました。 い 8476 (4) 早 = {} [8x+ 8 (2+3)]);} "[]" 8 8 ++ (-x+) 3 11 s