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9 |a<1, |6|<1のとき, 次の不等式が成り立っことを証明せよ。
(1) 1+ab>0 2) Ta+6<1+ab
「指針]絶対値を含む不等式の証明 条件式の扱い方がポイントである。
(1) まず|abl<1を示す。
(2) (1)より 1+ab>0 また |a+6|20であるから, 両辺の平方の差
を考える。
解答(1) |a|<1, |6|<1から
lab|<1
ゆえに -1<ab<1
したがって 1+ab>0
la|| 6|<1
よって
の 火
PRe
(2) |a|<1, |6|<1から
(1+ab)?-|a+b"3(1+2ab+d6)- (α+6)
=(1+2ab+d6°)- (2+2ab+6°)
=1-d-6°+d'6°
=(1-d)(1-6)
=(1-|a)(1-|6)>0
路
よって
|a+b?<(1+ab)
0 (1)から
12 ab>0
また,|a+b|>0であるから
|a+b|<1+ab
