FREM
例題 40
剰余の定理の応用
→例題39
整式P(x) をx-2で割ると 18余り, (x+1)^ で割ると -x+2余る。
このとき,P(x) を (x-2)(x+1)^ で割ったときの余りを求めよ。
Action 整式を整式で割った余りは、剰余の関係式 A = BQ+ R を利用せよ
解法の手順･･･
・1商をQ(x), 余りを ax²+bx+c とおき, 剰余の関係式をたてる。
2剰余の定理を用いて a, b,c の式をつくる。
3 | ax²+bx+c を (x+1)2で割ったときの余りを求め
......
解答
P(x) を (x-2)(x+1)^ で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax2+bx+c とおくと
P(x)=(x-2)(x+1)^Q(x)+ax+bx+c_
P(x) をx-2で割ると18余るから, P(2) 18 より
4a+26+c = 18
... 2
次に, ax²+bx+c を (x+1) で割ると、 商が α, 余りが
(b-2a)x+(c-α) となることから
ax2+bx+c=a(x+1)+(b-2a)x+(c-a)
(...3
(8+x)
③① に代入すると
P(x) = (x-2)(x+1)^Q(x)+α (x+1)+(b-2ax+(c-a)
=(x+1)^{(x-2)Q(x)+α}+(b-2a)x+(c-a)
よって, P(x) を (x+1) で割ったときの余りも
(b-2a)x+(c-α)
これがx+2となることから, 係数を比較して
6-2a=-1... ④, c-a=2... ⑤
② ④ ⑤ を連立して解くと α = 2,6=3,c=4
a
したがって、求める余りは
2.x² +3x+4
らえるこし
・･①ある。
余りは2次以下の整式で
a
x2 +2x+1) ax²+bx+c
ax2+2ax+a
(b-2a)x+c-a
(6-2a)x+(c-a) = -x+2
-1
2
1
