Question

ゆゆ

別解1はわかるのですが、最初に載っている解説がわかりません。なぜ二次方程式を求めたり、
x^3-4x^2+ax+bはx^2-6x+10で割り切れると言えるのですか？

76
bil
高次方程式の虚数解
例題 47
→例題32,42
複素数 3-iが3次方程式x4x2+ax+b=0の解となるような実数の定
数a,b の値を定めよ。また,残りの解を求めよ。 △
Action 虚数解をもつ実数係数の方程式は、 共役な複素数も解であることを用いよ
解法の手順・
1係数がすべて実数であることから,もう1つの解を求める。
2/3 ±iを2解とする2次方程式をつくる。
32 の方程式の左辺を因数にもつことを利用してα, 6の値を求める。
解答
3-i が実数係数の 3次方程式x4x²+ax+b=0の解で
あるから 3+iもこの方程式の解である。
ここで, 3-iと3+ i を解にもつ2次方程式の1つは
x² -{(3-i)+(3+i)}x+(3-i)(3+i) = 0
すなわち
x²-6x+10=0
ut (8 +
よって, x-4x2+ax + b は x2-6x+10で割り切れる。
右の筆算より
商はx+2
余りは
x+2
x² - 6x +10) x³-4x² +
x3-6x2 +
(a+2)x+(b-20)
この余りは0となるから
a +2 = 0, 6-20=0
これを解くと a=-2,6= 20
このとき, 方程式は
(x+2)(x2-6x+10) = 0
ax+b
a=-2,6=20
10x
2x2+(a-10)x + 6
2x² -
12x + 20
(a+2)x + (b-20)
これを解くと
x = -2, 3±i
したがって 求める残りの解は x = -2, 3+i
(別解 1)
3-iが解であるから, x = 3-iを方程式に代入して
(3-i)³-4(3-i)² +a(3-i)+b=0
27-27i+9i²-i³-36+24i-4i²+3a-ai+b=0
(3a+b-14)+(-a-2)i = 0
a,b は実数であるから, 3a+6-14, -α-2も実数である。
J3a+6-14 = 0
よって
\-a-2=0
これを解くと
このとき, 方程式は
左辺を因数分解すると
これを解くと
x=-2,3±i
したがって 求める残りの解は
x-4x²-2x+20 = 0
(x+2)(x2-6x+10) = 0
<Point 参照
x = -2,3+i
2数を解にもつ2次方程
式の1つは
2-(和)x+(積) = 0
x=3-iを解にもつ2次
方程式は x-3=-i の
両辺を2乗して
x2-6x+9= -1
x2-6x+10 = 0
としてもよい。
「 「割り切れる」
(余り) = 0
◄i² = − 1, ³ = −i
複素数の相等条件を
るために 3a+b-
-α-2 が実数であ
とを明記する。
<P(x)=x-4x-2=
とおくと P(−2)
-2|1 -4
+
-2
-2 12
10
1 -6

高次方程式の虚数解 高次方程式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

志摩🌈

こんな感じでいかがでしょうか❓

ゆゆ

X^3-4x^2+ax+b=0
(x^2-6x+10)(もう一つの解)=0

X^3-4x^2+ax+b= (x^2-6x+10)(もう一つの解)と考えて、割ってるんですか？違いますかね💧

Answer 2

とある平凡な高校生

虚数を含まない三次方程式が実数解を持つための条件
・実数解３つ
・実数解１つ　かつ　虚数解２つ
のいずれか（重解は解２つor３つとする）
今回分かっている解の１つは虚数解。
この場合、自動的にもう一つの解はその虚数解の共役な複素数であると分かる。よって、元の式がその複素数を解にもつ二次方程式で割り切れる