Sn=12-22+3°-4° + 5° -6° + +(-1)"+1.n² を求めよ。
式を分ける
符号が交互に変わることから, 2項ずつ組にして考える。
思考プロセス
Sn = (12−22) + (32-4) + (52-62) +••••
......
場合に分ける
最後も組
(1-2)+(3-4) +... +
]²)
(nが偶数のとき)
( )+(
] ³) + [
(nが奇数のとき)
最後余る
Action》 一般項に (-1)” を含む数列はの偶奇で場合に分けよ
(ア)n が偶数のとき, n=2m(m=1, 2, 3, ...) とおくと
Sn=S2m
= (12-2)+(32-4) + ( 52 - 62 )
m
+･･･+{(2m-1)-(2m)}
m
=(2k-
k=1
{(2k-1)-(2k)} = Σ(−4k+1)
k=1
=-4. 1.2m(m+1)+m=-m(2m+1)
n=2mより, m= n であるから
1
Sn =
n(n+1)
(イ) nが3以上の奇数のとき,
n=2m+1(m=1, 2, 3, ...) とおくと
Sn=S2m+1=S2m+ (2m+1)
=-m(2m+1) + (2m+1)
=
(2m+1)(m+1)
n=2m+1より,
m =
11/12 (n-1)であるから
Sm=n{1/(n-1)+1}=1/12n(n+1)
n=1 を代入すると1となり, S=1°=1に一致する。
(ア)(イ)より Sn=
すなわち
n(n+1) (nは偶数)
-n(n+1) (nは奇数)
2
Sn=(-1)"+1.1/21n(n+1)
nの式で表す。
(ア)の結果を利用する。
S2m を用いるから, nを
3以上の奇数とした。
m2m+1)+(2m+1)2
(2m+1){-m+(2m+1)}
(2m+1)(m+1)
(n-1)+1
12
=
{(n-1)+2}
-(n+1)
このまま答えとしてもよ
い。
(-1)n+1
=
(-1 (nが偶数)
[1
(nが奇数)
