34 第2章 複素数と方程式
例題 16
3次方程式が2重解をもつ条件
3次方程式x4x2+(m-12)x+2m=0が2重解をもつとき,定数
m の値を求めよ。
考え方 与えられた方程式は, (x-a)(x2+px+q)=0の形に変形できる。
方程式 (x-α) (x2+px+q)=0が2重解をもつ条件は
[1] x2+px+q=0がα以外の重解をもつ
[2] x2+px+q=0の解の1つが α で, 他の解がαでない
[2] の場合, x=α が2重解となる。
解答
XO
P(x)=x-4x2+(m-12)x+2m とおくとP(-2)=-8-16-2(m-12)+2=0
よって, P(x)はx+2を因数にもつ。
P(x)=(x+2)(x²-6x+m)
したがって
よって, 方程式は
(x+2)(x2-6x+m) = 0
ここで, x2-6x+m=0
.... ① とおくと, 与えられた3次方程式が2重解をもつ
のは,次の [1] または [2] の場合である。
[1] ① が2以外の重解をもつとき
① の判別式をDとすると
2=(-3)^-1・m=9-m
4
重解をもつのは, D=0のときであるから 9-m=0
よって m=9
このとき, ① は x 2-6x+9=0 となり, 3を重解にもつから, 適する。
[2] ①の解の1つが2で,他の解が-2でないとき
① が -2 を解にもつから
(-2)²-6 (-2)+m=0
よってm=-16
このとき, ① は x ²-6x-16=0 となり,これを解くとx= - 2,8であるから,
適する｡
[1], [2] より m=9, -16 答
(E)
